Könnte man diese Aufgabe ohne Taschenrechner machen?

Question

Hier ist eine Aufgabe vom Übungszettel...

Umrechnung in e Darstllung

Z = (((1-i)^2)/(1+i))

nach auflösung sind es Z= -1-i

r = sqrt((-1)^2+(-1)^2) = sqrt2

dann arctan von (-1/-1) = pi/4

ALso hätte ich Z= sqrt2 * e^{-i Pi/4}

Aber das ist falsch weil wenn ich das zurückrechnen würde hätte ich Z= 1 - i und nicht  z = -1 - i

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also im Prinzip komme ich mit dem minus nicht klar!

wenn ich z= x + iy habe dann habe ich z = r (cos(phi) + sin(phi))

und wenn ich z= -x - iy habe dann habe ich was? 

z= r ( cos(phi) - sin(phi)) ?????

aber wie mache ich das dann mit e 

weil wenn ich

z= r ( cos(phi) - sin(phi)) habe würde ich ja in e-schreibweise

z= r e^ -i phi haben 

aber wenn ich das anwende komme ich nicht auf die richtige Lösung oben

Answer 1

PI/4 ist falsch. Überlege, in welchem Quadranten Du bist und wie der Arcustangens umgerechnet werden muss.

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Zur eigentlichen Frage: Könnte man diese Aufgabe ohne Taschenrechner machen?

Ja, man könnte und das macht auch viel weniger Arbeit, denn die Zahl z = -1-i liegt auf der Hauptdiagonalen der gaußschen Zahlenebene, allerdings im dritten Quadranten. Mit den beiden Achsen schließt sie einen Winkel von 45° (= PI/4) ein, diesen Winkel liefert auch der Arcustangens. Gemessen von der positiven reellen Halbachse beträgt der Winkel dann natürlich 45° ± 180° (= PI/4 ± PI).