Ungleichung Intervalle definieren: 1/(x-3) + 2/(x-1) < 1.

Question

Ungleichung Intervalle definieren:

$$\frac { 1 } { x - 3 } + \frac { 2 } { x - 1 } < 1$$

https://www.wolframalpha.com/input/?i=1%2F%28x+%E2%88%92+3%29+%2B+2%2F%28+x+%E2%88%92+1%29+%3C+1

Wie definiert man die Intervalle?

Answer 1

Forme auf die zweite 'alternate from' um und dann siehst, du, dass du bei 1, 2, 3 und 5 unterteilen musst.

Also

Fälle: x<1, 1<x<2, 2<x<3, 3<x<5, 5<x

Comments

Demzufolge zählt 4 aber auch als mögliche Lösung.

Durch Probieren stellt sich heraus, das 4 aber nicht geht.

Schau doch Mal bitte was Gast hh183 hat und meine Frage darauf.

Vielleicht kannst du mir das erklären?

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piknockyou: Ich habe hier nur angeben, welche Fälle zu unterscheiden sind. Die Lösungsmenge konnte der Fragesteller anscheinend selbst ermitteln.

In diesen Intervallen darf man einfach einen Wert einsetzen. z.B. deine 4. Dann kann man 3<x<5 ausschliessen aus der Lösungsmenge.

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Danke für die Antwort..

Aber das ist ja schon meine nächste Frage auch gerne an dich dich, die ich unter die Antwort von Gast hh183 geschrieben habe.

Woher weiß ich denn, dass die Intervalle (siehe Gast hh183) so lauten müssen?

Ich kann anhand seiner Gleichung logischerweise erkennnen, dass 1; 2; 3 und 5 nicht dazu gehören, aber alleine daran, kann ich ja noch nicht fest meine Intervalle definieren.

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Nur bei Nullstellen im Zähler oder im Nenner kann das Vorzeichen des Bruchterms von PLUS nach MINUS oder umgekehrt wechseln.

Und dich interessiert ja nur, wann dein Bruchterm grösser oder kleiner als 0 ist.

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Tut mir Leid. Ich verstehe deine Antwort nicht.

Ich habe gefragt:
Woher weiß ich denn, dass die Intervalle (siehe Gast hh183) so lauten müssen?

Ich kann anhand seiner letzten Gleichung logischerweise erkennnen, dass 1; 2; 3 und 5 nicht zu den möglichen Lösungen zählen, aber alleine daran, kann ich ja noch nicht fest meine Intervalle definieren.

Wie kann ich mit diesen Werten Intervalle definieren?

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Schau dir den Graphen hier an: https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28%28x−5%29⋅%28x−2%29%29%2F%28%28x−3%29⋅%28x−1%29%29+%3E+0

Da siehst du die Vorzeichenwechsel bei den Nullstellen und den Polen der Funktion

f(x) = ((x−5)⋅(x−2))/((x−3)⋅(x−1))

Das ist eine gebrochenrationale Funktion. Du weisst sicher, was Nullstellen und Pole solcher Funktionen sind.

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Ich weiß nicht, wie mich besser ausdrücken soll. Ich weiß, was Nullstellen und Polstellen sind.

Angenommen ich habe keine Grafik etc. und ich möchte nur anhand dieser Ungleichung: $$\frac { ( x - 5 ) \cdot ( x - 2 ) } { ( x - 3 ) \cdot ( x - 1 ) } > 0$$

und dieser ersichtlichen Werte: 1; 2; 3 und 5 eine Lösung aufstellen. Wie mache ich das?

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Es ist am einfachsten, wenn du dir den Graphen vorstellen kannst.Wenn nicht musst du alle Fälle einzeln durchrechnen.

Answer 2

Hier mal ein anderer Weg:
$$ \begin{aligned} \frac { 1 }{ x-3 } + \frac { 2 }{ x-1 } &< 1 \\\\ \Leftrightarrow\quad \frac { 3x-7 }{ \left(x-3\right)\cdot\left(x-1\right) } &< \frac { x^2-4x+3 }{ \left(x-3\right)\cdot\left(x-1\right) } \\\\ \Leftrightarrow\quad \frac { x^2-7x+10 }{ \left(x-3\right)\cdot\left(x-1\right) } &> 0 \\\\ \Leftrightarrow\quad \frac { \left(x-5\right)\cdot\left(x-2\right) }{ \left(x-3\right)\cdot\left(x-1\right) } &> 0 \end{aligned}\\\,\\ \Leftrightarrow\quad x < 1 \quad \lor \quad 2 < x < 3 \quad \lor \quad 5 < x. $$Der letzte Schritt gelingt durch Ablesen unter Beachtung der Vorzeichen der Linearfaktoren.

Comments

Aber woher weißt du, dass z.B. 4 nicht dazu gehört?
Durch Probieren und graphisch ist es klar.

Ich hätte ja auch 5 Intervalle wie Lu hinschreiben können.