Unter einer stetigen Funktion kannst du dir eine Funktion vorstellen, die du ohne den Stift absetzen zu müssen zeichnen kannst. Man sagt auch, dass die Funktion keine "Sprungstellen" besitzt. Eine allgemeine Rechenbestätigung wird in der Schule meiner Erfahrung nach nicht gelehrt.
Im Studium ist es dann so, dass man die obige Eigenschaft mathematisch formuliert und definiert. Danach beginnt man angefangen bei einfachen Funktionstypen diese Eigenschaft allgemein nachzuweisen. Hinterher werden noch Folgerungen bewiesen, dass zum Beispiel die Summe und das Produkt zweier stetiger Funktionen wieder eine stetige Funktion ist. Somit kann man zum Beispiel schnell sehen, dass wenn man schon gezeigt hat, dass die Funktion f(x) = x und die Funktion g(x) = c (wobei c eine reelle Zahl ist) stetig sind, alle Polynomfunktionen stetig sind.
Aber mal zurück zur Schulmathematik:
Ihr lernt ähnlich welche Funktionsarten stetig sind. Danach schaut ihr euch zum Beispiel bei gebrochen rationalen Funktionen an. Hier untersucht ihr welche Stellen in Frage kommen würden, in denen die Funktion nicht stetig ist. Das sind die Definitionslücken. Man kann dann überprüfen, ob es eine stetige Erweiterung an diesen Stellen gibt. Dies macht man zum Beispiel in dem man (per Polynomdivision) überprüft ob die Nennernullstellen auch Nullstellen für den Zähler sind und sich somit kürzen lassen.
Andere Beispiele wären Funktionen die abhängig von x unterschiedlich definiert sind.
Zum Beispiel:
$$ f(x) = \left\{\begin{array}{cl} x^2, \quad \text{falls} x > 1\\ x, \quad \text{ falls} x \leq 1 \end{array}\right. $$
Wenn man weiß, dass die Funktion x² und x stetig sind, so muss man nur noch schauen, ob die Funktion f(x) an der Stelle an der die Definition übergeht, stetig ist.
Dafür berechnet man den links- und rechtsseitigen Grenzwert also
$$ \lim \limits_{x \to 1} f(x) $$
Links- bzw. Rechtsseitig bedeutet hierbei, dass du den Grenzwert betrachtest wenn x gegen 1 "von links" (das heißt x < 1) bzw. "von rechts" (das heißt x>1) strebt.
In diesem Fall wäre also,
$$ \lim \limits_{x \to 1 \, \ x <1} f(x) = \lim \limits_{x \to 1 \, \ x <1} x = 1 = \lim \limits_{x \to 1 \, \ x >1} x^2 = \lim \limits_{x \to 1 \, \ x >1} f(x) $$
Da der links- und rechtssteige Grenzwert in der Stelle x = 1 also existiert und gleich ist, ist die Funktion in diesem Punkt (und somit auf ganz ℝ stetig).
Gruß
