kontraharmonisches mittel

Question

für x,y ∈ ℝ mit x> 0, y>0 heißt K(x,y):= x²+y²/x+y kontraharmonisches mittel von x und y. zeigen sie 0<x<y⇒x<K(x,y)<y

Answer 1

Du hast x<y und multiplizierst die Ungleichung mit dem positiven! y, das gibt   xy < y^2.
Dann addierst du auf beiden Seiten x^2 und hast   xy+x^2 < x^2 + y^2
Jetzt links x ausklammern gibt    x(y+x)  < x^2  + y^2
Nun durch (x+y) teilen (Da das auch positiv ist, bleibt das <-Zeichen erhalten.) und fertig ist die Kiste:
                                               x  <   K(x,y).
Für den 2. Teil der Ungleichung fängst du einfach damit an, dass du x<y mit mit x multiplizierst und hinterher
y^2 auf beiden Seiten addierst.

Comments

der erste teil der ungleichung ist doch x²+y² und der 2. teil x+y oder?

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Der erste Teil, den ich vorgerechnet habe, war x<k(x,y).

Der zweite Teil ist k(x,y)<y