Herleitung der Formel für das logistische Wachstum.

Question

Für die Wachstumsgeschwindigkeit des logistischen Wachstums gilt:

f^'(t) = k • f(t) • (S - f(t))

Daraus ergibt sich für die Formel des logistischen Wachstums:

f(t) = S : (1 + ( (S : f(0)) -1) • e^k•S•t )

Kann mir jemand bei der herleitung helfen den ich komme nicht darauf ...

Liebe Grüße :)

Comments

Erkennst du denn um welche Art von Differentialgleichung es hier geht?

---

Also in der Differenzialgleichung ist f(t) für das exponentielle Wachstum und (S-f(t)) für das begrenzte Wachstum..Ich weiß nicht ob ich die Frage damit beantwortet hab ...

---

Das ist schon mal gut.

Gemeint hatte ich eher so was, wie: Es ist ein gewöhnliche nichtlineare Differentialgleichung erster Ordnung.

f^'(t) = k • f(t) • (S - f(t)) 

f' (t) = k*S*f(t) - k*(f(t))^2

oder

y' = kSy - ky^2

Ist das eventuell separierbar?

---

Also das versteh ich nicht ganz ....

---

Was genau verstehst du nicht?

separierbar bedeutet, dass man die Variabeln trennen kann.

Answer 1

Wenn du nicht weisst, was du kennst, hier mal der Anfang der Methode mit der Trennung der Variabeln:

y' = kSy - ky²

dy / dt = ky(S-y)           | * dt, / y(S-t)

dy / (y(S-y)) = k * dt        | nun auf beiden Seiten integrieren.

(ln(y) - ln(S-y)) / S = kt + C          | Auflösen nach y, * S

(ln(y) - ln(S-y)) = Skt + D      | ln zusammenfassen

ln(y/(S-y)) = Skt + D        | e hoch ...

y/(S-y) = e^{Skt + D} = Fe^{Skt}  , wobei F > 0     | *(S-y)

y = (S-y) Fe^{Skt}

y = S*F*e^{Skt} - yFe^{Skt}

y + yFe^{Skt} = SFe^{Skt}

y(1+Fe^{Skt}) = SFe^{Skt}

y = (SFe^{Skt}) / ( 1 + Fe^{Skt})    , F> 0

Das wäre nun mal die allgemeine Lösung auf die man vielleicht dank Theorie auch direkter kommt.

Nun kannst du erst mal bis hierhin nachrechnen und gegebenenfalls Korrekturen anbringen.

Dann noch den Anfangswert einsetzen und das F bestimmen.

Comments

Also ich hab das mit dem separieren verstanden nur wusste ich nicht dass es unter dieser bezeichung fällt. Also ich hab nicht viel ahnung und deshalb wäre es nett wenn du das ein bisschen einfacher machen könntest weil ich weiß zum beispiel nicht was dy/dt ist und dann versteht ich es nicht und was heißt integrieren ?

---

dy/dt ist beim Separieren der Variabeln nichts anderes als eine Schreibweise für y'.

dy / dt = ky(S-y) 

dy / (y(S-y)) = k * dt             | integrieren

∫ dy / (y(S-y)) = ∫ k * dt       | Integralzeichen einfügen

∫ 1 / (y(S-y)) dy = ∫ k * dt              | nun tatsächlich integrieren. 

Danach noch umformen nach y. Ähnliche Aufgabe mit Diskussion zur nun folgenden Umformung hier: https://www.mathelounge.de/91556/differentialgleichung-x-2-y-y-2-mit-y-1-1-2