Question

Sei n ≥ 1 eine natürliche Zahl. Wir betrachten die Teilmenge

$$ { μ }_{ n }(ℂ)=\left\{ { ζ∈{ ℂ }^{ × } }| { { ζ }^{ n }=1 } \right\} { | }⊂{ ℂ }^{ × }. $$

Verifizieren Sie, dass mit zwei Elementen ζ,ω auch das Produkt ζ · ω in μ_n(ℂ) enthalten ist. Zeigen Sie weiterhin, dass die Menge μ_n(ℂ) versehen mit der komplexen Multiplikation eine Gruppe bildet. Rechnen Sie schliesslich mittels Polarkoordinaten aus, dass diese Gruppe genau n Elementen enthält, und skizzieren Sie diese für n = 8 in der komplexen Zahlenebene.

Answer 1

seien \( \zeta , \omega \in \mu_n(\mathbb{C})\) .

Behauptung: Das Produk \( \zeta \omega \in \mu_n(\mathbb{C})\)

Du sollst also zeigen, dass gilt \( (\zeta \omega)^n = 1\) 

Behauptung: \((\mu_n(\mathbb{C}), \cdot) \)ist eine Gruppe.

Abgeschlossenheit folgt ja bereits aus der 1. Behauptung, überleg dir was hier das neutrale Element wäre und frage dich selbst ist die Gruppe assoziativ?

Für die Auswahl der Elemente:

Betrachte \( \zeta = re^{i\varphi } \) und \( 1 = e^{ik\pi}, k \in \mathbb{Z} \) und schau dir direkt die Beziehung:

$$ \zeta^n = 1 $$ an.

Gruß