Um "offen" in der Standardmetrik des IR^n zu zeigen, musst du für eine Menge M nur zeigen:
Für jedes m aus M gibt es eine eps-Umgebung von m, die ganz in M liegt.
Etwa bei a) (Druckfehler R* nicht R^x , also x ungleich 0 )
Sei x asu R^n und m aus x*U also gibt es ein u aus U mit m=x*u
Da u offen ist, gibt es eine eps-Umgebung V von u mit V⊆U.
also gilt für alle v aus V v in U also |v-u| < eps
wegen |x| ungleich 0 gilt dann auch |x| * |v-u| < | x| * eps
| x*v - x*u | < | x| * eps
Also ist x*V eine Umgebung mit Radius | x| * eps die ganz in x*U liegt.
für (b) und (c) brauchst du wohl noch die Dreiecksungleichung .