Offene Teilmenge des R^7? M:= {(x_(1),…,x_(7))∈ℝ^{7}|e^{x}_(5)−3· x_(1)^{3}_( )· x_(7) < ln(|x_(2)|+1)+x_(4)·x_(6)}

Question

Hallo:)

Es wäre super wenn mir jemand eine Lösung für diese Aufgabe geben könnte:
Zeigen Sie, dass
M := {(x₁, · · · , x₇) ∈ ℝ⁷|e^x₅ − 3 · x₁³ · x₇ < ln(|x₂| + 1) + x₄ · x₆}.
eine offene Teilmenge des ℝ⁷ ist.

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Zeigen dass es eine Offene Teilmenge

Stichworte: offene,teilmenge

Hey:)

Ich soll bei dieser Aufgabe zeigen, dass M eine offene Teilmenge von ℝ^7.

^{Könnte mir das bitte jemand zeigen?}

M := {(x₁, ... , x₇) ∈ ℝ⁷|e^x5 − 3 · x₁^{3  .}  x₇ < ln(|x₂| + 1) + x₄ · x₆}.

!!

Answer 1

Zeige allgemeiner: Fuer jede stetige Funktion \(f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}\) ist \(M:=\{x\in\mathbb{R}^n\mid f(x)<0\}\) offen. Beweise dazu: Wenn \(f(\xi)<0\), dann gibt es eine Umgebung \(U\) von \(\xi\) mit \(f(x)<0\) für alle \(x\in U\).

Comments

Könntest du das vielleicht aufschreiben ? Ich habe eine ähnliche Aufgabe, nur ich versteh nicht ganz wie ich das beweisen soll

---

Es uebertraegt sich bei Stetigkeit eine Ungleichung von einem Punkt auf eine ganze Umgebung des Punktes. Weil die Funktion ja nicht springen darf. Den Beweis für die Aufgabe gab's hier schon gefuehlt 1000x. Man kann z.B. mit dem Folgenkriterium die Kontraposition beweisen. Oder wahlweise \(\varepsilon=-f(\xi)/2\) nehmen und dann mit \(\varepsilon\)-\(\delta\) hantieren.  Gefunden hab ich https://www.mathelounge.de/530041/beweise-positivitat-ubertragt-stetigen-funktionen-umgebung