Sei (X,dx) Metrik. Wenn nun eine offene Teilmenge X schneidet, ist X vereinigt U offen?

Question

Huhu,

frage:

Ich habe einen metrischen Raum (M,d) und nichtleere Teilmenge X aus M mit induzierter Metrik (X,dx).

Zu zeigen ist nun, dass wenn eine offene Teilmenge U ⊂ M existiert, dass diese im Schnitt mit X wiederum offen ist.

Wie genau zeige ich das? Sind metrische Räume auromatisch offen? Abgeschlossen, beides?

LG