Finde alle Matrizen A, B, C aus F2 sodass gilt: AB =|= BA, C²=E=|=C

Question

Aufgabe:

Finden Sie für \( n=2 \) Matrizen \( A, B, C \in \mathbb{F}_{2}^{n \times n} \) mit \( A B \neq B A, C^{2}=E^{(n)} \neq C . \) (Und für \( n>2 \) ?)

Ansatz:

Meine Idee wäre für die Matrizen Variablen einzusetzen, sie miteinander zu mulitplizieren und dann für jeden Wert der 2x2 Ergebnismatrix dieses Gleichungsystem zu dem gewünschten Wert zu lösen mittels Gaus Algorithmus etc. Ginge das? Wie sieht das aus, gibt es eine bessere Lösung?

Answer 1

Du bist doch im Körper F2. Da gibt es nur die Elemente o und 1.
 Damit kannst du doch leicht alle Möglichkeiten durchprobieren.

Comments

Nein es sind definitiv mehr als ein paar

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Es gibt eine mit 4 Nullen

4 mit 3 Nullen

6 mit 2 Nullen

4 mit genau einer Null

eine ohne Nullen

Sind 16 Stück.

Für C ist die Sache dann doch recht einfach:

wenn eine Zeile oder spalte nur aus nullen besteht,

kann C^2 nicht gleich E sein, also fallen schon mal eine

Menge weg. Die mit den 4 Einsen ist zum Quadrat die

Nullmatrix, geht also auch nicht.

Die mit genau einer Null hat zum Quadrat immer genau eine

0 und sonst einsen, geht also auch nicht.

Bleiben die 6 Stück mit 2 Nullen und zwei Einsen.

2 Nullen in einer Zeile oder Spalte geht nicht (s.o.)

Also bleibt nur noch

1  0                und                  0   1

0  1                                         1  0

Bei der ersten ist c^2=e allerdings gleich c,

also bleibt die zweite als einzige Möglichkeit für C.

Für A und B must du wohl etwas mehr probieren  :-)