Markovkette - Wahrscheinlichkeit im Labyrinth messen

Question

Labyrinth:

a) Eine Ratte wird in das o.g. Labyrinth gesetzt. Sie bewegt sich willkürlich von Raum zu Raum. Von jedem Raum aus geht mit gleicher WK in die anderen Räume. Sobald sie  Raum 1 (Raum mit Futter) erreicht hat, bleibt sie dort und verlässt ihn nicht mehr. Wenn sie in den Raum 5 mit der Falle gelangt, wird sie gefangen und kann ihn auch nicht mehr verlassen. Was ist die WK, dass sie im Raum 5 landet, wenn sie am Anfang in den Raum 3 gesetzt wurde?

b) Was ist die WK, dass sie im Raum 1 endet, wenn sie anfänglich in Raum 2 positioniert wurde?

Lösung für b: 10/19

Diese Aufgabe soll man mit dem Markovkettenverfahren lösen. D.h. im Grunde genommen mit einer  Matrix. Leider verstehe ich nicht ganz, wie ich hier vorgehen soll. Ich nehme an, dass ich eine Übergangsmatrix (Transition Matrix) zum Labyrinth-Text erstellen soll. Was danach absorbierende Zustände bestimmen und die nicht absorbierenden Bereiche mit der Inversen multiplizieren?

Wenn das jemand versteht, kann er es auch mit einem anderen Verfahren lösen.

Answer 1

a) Was ist die WK, dass sie im Raum 5 landet, wenn sie am Anfang in den Raum 3 gesetzt wurde?

	1	2	3	4	5
1	1	1/3	1/2	1/4	0
2	0	0	0	1/4	0
3	0	0	0	1/4	0
4	0	1/3	1/2	0	0
5	0	1/3	0	1/4	1

a: Die Wahrscheinlichkeit von 1 in den Raum 5 zu gelangen. Die ist hier 0.

b: Die Wahrscheinlichkeit von Raum 2 in den Raum 5 zu gelangen.

c: Die Wahrscheinlichkeit von Raum 3 in den Raum 5 zu gelangen.

d: Die Wahrscheinlichkeit von Raum 4 in den Raum 5 zu gelangen.

b = 1/3 + 1/3·d

c = 1/2·d

d = 1/4 + 1/4·b + 1/4·c

Lösung des LGS: b = 9/19 ∧ c = 4/19 ∧ d = 8/19

Die Wahrscheinlichkeit ist also c = 4/19 von Raum 3 zum Raum 5 zu gelangen.

b) Was ist die WK, dass sie im Raum 1 endet, wenn sie anfänglich in Raum 2 positioniert wurde?

Die Wahrscheinlichkeit von Raum 2 in den Raum 5 zu gelangen war b = 9/19. Daher ist die Wahrscheinlichkeit in den Raum 1 zu gelangen 1 - 9/19 = 10/19.

Comments

Aber die WK von Raum 4 nach 5 zu gelangen ist doch 1/4. Damit wäre z.B. b= 1/3 + 1/3 * 1/4 = 5/12.

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Aber die WK von Raum 4 nach 5 zu gelangen ist doch 1/4.

Nein. Die Wahrscheinlichkeit ist 1/4 direkt dorthin zu gelangen. Du kannst aaber auch von 4 über 2 nach 5 gelangen und von 4 über 3 nach 5 gelangen. 

Die anderen Alternativen muss man hier immer mit berücksichtigen. Daher kommt man auf ein Gleichungssystem.