Rotation um einen Stern in R3

Question

Ein Fixstern hat die Koordinaten F = (2; 1; 3)^t. Er wird von einem Planeten umkreist, die Rotationsachse sei ~ez. Wenn der Planet die Koordinaten P = ( 1;  1; 3)^t hat und nun um 30° weiter rotiert, welche Koordinaten hat er dann?

Geg: winkel α = 30°
Punkt F
Punkt P.

Wie gehe ich nun vor?
Ich weiss, dass ich folgende Gleichung verwenden muss:
$${ R }_{ z,\alpha  }=\quad (\begin{matrix} cos(\alpha ) & -sin(\alpha ) & 0 \\ sin(\alpha ) & cos(\alpha ) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix})$$

Doch wie verwende ich diese Matrix? Was sagt mir dieses R aus und in welchen Bezug muss ich diese nun mit P und F verwenden?

Vielen Dank vorweg :)

Comments

So ich hab mal was gebastelt mit Tutorials.

Ich bin zum Schluss auf folgende Lösung gekommen für P'
P' = P nach der Rotation:
$${ R }_{ z,\alpha  }=\begin{matrix} \frac { \sqrt { 3 }  }{ 2 }  & -\frac { 1 }{ 2 }  & 0 \\ \frac { 1 }{ 2 }  & \frac { \sqrt { 3 }  }{ 2 }  & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}*\begin{matrix} -1 \\ -1 \\ 3 \end{matrix}\\ =\quad \begin{matrix} -1*\frac { \sqrt { 3 }  }{ 2 } +(-1*(-\frac { 1 }{ 2 } ))+0 \\ -1*\frac { 1 }{ 2 } +(-1*\frac { \sqrt { 3 }  }{ 2 } )+0 \\ 0+0+3 \end{matrix}=\quad \begin{matrix} \frac { 1-\sqrt { 3 }  }{ 2 }  \\ -\frac { 1-\sqrt { 3 }  }{ 2 }  \\ 3 \end{matrix}=\quad P'\\ $$

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Jetzt müsste ich nur wissen ob das so korrekt ist. Es wirkt zumindest so, da sich dir Z Koordinate des Punktes P nicht ändert und wenn ich mir die rotation um diese Achse vorstelle, könnte es hinhauen

Answer 1

Rotation um die Z-Achse bedeutet, dass die z-Koordinate erhalten bleibt. Deswegen die 1 in der Matrix.

Es wird hier aber um den Fixstern gedreht, dsa heißt du brauchst erst den Vektor der den Abstand des Planeten vom Fixstern ausdrückt:

\( P_a = P- F\)

Um die Drehung eines Punktes \(P_a\) um den Winkel alpha zu berechnen setzt du alpha in deine Matrix ein und berechnest

\( P'_a = R_{z,30°} \cdot P_a \)

Was du aber hier gedreht hast, ist ja der Abstandsvektor des Planeten vom Fixstern, damit du die Koordinaten deines Planeten wieder bekommst musst du nun diesen Abstandsvektor mit deinem Fixstern addieren

\( P' = F + P'_a \)

Also was im Grunde geschehen ist:

1) Der Fixstern ist der neue Bezugspunkt deiner Drehung.

2) Du berechnest die Drehung um die z-Achse bezüglich dieses Punktes

Gruß

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Vielen Dank für deine ausführliche Antwort.

Deine Regeln verinnerlicht und sofort in dieser Aufabe umgesetzt:
$$PF\quad =\quad P\quad -\quad F\quad =\quad \begin{matrix} -1 \\ -1 \\ 3 \end{matrix}-\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{matrix}=\begin{matrix} -3 \\ -2 \\ 0 \end{matrix}\\ PF'\quad =\quad R*PF\quad =\quad (\begin{matrix} \frac { \sqrt { 3 }  }{ 2 }  & \frac { 1 }{ 2 }  & 0 \\ \frac { 1 }{ 2 }  & \frac { \sqrt { 3 }  }{ 2 }  & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix})\quad *\quad (\begin{matrix} -3 \\ -2 \\ 0 \end{matrix})\quad =\quad (\begin{matrix} \frac { 2-3\sqrt { 3 }  }{ 2 }  \\ \frac { -3-2\sqrt { 3 }  }{ 2 }  \\ 0 \end{matrix})\\ P'\quad =\quad F\quad +\quad PF'\quad =\quad (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{matrix})\quad +\quad (\begin{matrix} \frac { 2-3\sqrt { 3 }  }{ 2 }  \\ \frac { -3-2\sqrt { 3 }  }{ 2 }  \\ 0 \end{matrix})\quad =\quad (\begin{matrix} \frac { 6-3\sqrt { 3 }  }{ 2 }  \\ \frac { -1-2\sqrt { 3 }  }{ 2 }  \\ 3 \end{matrix})$$

Das müsste nun der neue Punkt P sein :)

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In deiner Aufgabenstellung steh P = (1,1,3), warum rechnest du mit P = (-1,-1,3)?

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Oh ist mir nicht aufgefallen. Hatte den Aufgabentext reinkopiert und die Optik dann verändert das es passte. Aber das er die - nicht mitkopiert hat hab ich nicht gemerkt. Die Originalaufgabe ist aber mit
P = (-1, -1, 3)^t

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Achso ok, dann sehen deine Ausführungen ganz in Ordnung aus. Allerdings hast du in der 2. Zeile deiner Rechnung bei der Matrix in der 1. Zeile, 2. Spalte das Vorzeichen - vergessen.

Gruß