Mengenaussagen anders ausdrücken. Bsp. Jede ganze Zahl ist ein Vielfaches von 3.

Question

a) Drücken Sie die folgenden Aussagen in Worten aus und, falls eine Aussage falsch sein sollte, ersetzen Sie sie durch ihre Negation:

(i) \( \forall m \in \mathbb{N} \exists n \in \mathbb{N}: m=n \cdot n \)

(ii) \( \forall m \in \mathbb{N} \forall n \in \mathbb{N}:(m>n \Rightarrow(\exists l \in \mathbb{N}: m=l+n)) \)

b) Schreiben Sie die folgenden Aussagen mit Hilfe der Symbole \( \forall, \exists, \Rightarrow \) wie in Teil a). Beweisen oder widerlegen Sie sie dann:

(i) Jede ganze Zahl ist ein Vielfaches von drei.

(ii) Die Summe von je zwei ungeraden natürlichen Zahlen ist gerade.

Answer 1

a) i) Für alle m Element N existiert ein n Element N mit m = n*n.

Das stimmt nicht.

" Es gibt ein m Element N, das keine Quadratzahl ist."

Beisoiel: m = 5 ist keine Quadratzahl.

(ii) Für alle natürlichen m und n gilt: Wenn m grösser ist als n, so gibt es ein natürliches l, so dass n + l = m.

Stimmt. Berechnen kann man dieses l immer als m-n = l.

b)(I)

∀ n ∈ Z ∃ k ∈ Z mit n = 3*k.

Stimmt nicht.  n=7 ist nicht durch 3 teilbar.

(II)

∀ (n,m) ∈ NxN mit n = 2k+1 und m = 2p+1 ( wobei (k,p) ∈ NxN)  ∃ q ∈ N mit n+m = 2q.

Beweis: Ich berechne dieses q.

n+m = 2k + 1 + 2p+1 = 2k + 2p + 2 = 2(k+p+1) 

---> q = k+p+1   qed.