Gruppe G mit g^2= e. Zeige: Das ist eine abelsche Gruppe

Question

Sei G eine Gruppe mit g² = e für alle g ∈ G. Zeigen Sie, dass G abelsch ist.

Comments

Das habe ich heute schon mal bewiesen. Benutze mal die Suche.

Answer 1

https://www.mathelounge.de/169959/untersuche-verknupfungen-kommutativ-oder-assoziativ-sind#a169980

2. Aufgabe

(a*b)*(a*b) = e              | Mult. von rechts mit b

(a*b)*(a*b)*b  = e*b = b | *a

(a*b)*(a*b)*b*a = b*a        | Assoziativgesetz links

(a*b)*a*(b*b)*a = b*a       | b*b = e

(a*b)*a*e*a = b*a          | a*e = a

(a*b)*a*a = b*a       | a*a = e

(a*b) *e = b*a         | e neutrales element

a*b = b*a

qed. (kommutativ)

Answer 2

Fang mal an mit  xy und multipliziere das mit e=xx, dann gilt

xy = (xy)(xx)   Dann assoziativ!

= x(yx)x =    wieder mal e=xx

(x(yx)x)(xx) = 

                         jetzt mal   (yx)(yx) das ist auch das Produkt zweier gleicher Gruppenelemente also auch gleich e

                             (x(yx)x)(xx)(yx)(yx) =

= ((x(yx)x)(x(xy)x) (yx)

Die ersten beiden großen Klammern sind genau gleich,

also ist ihr Produkt auch e, also bleibt nur    yx.

Answer 3

für \( gf = x \) gilt \( xf = g \) und \( gx = f \), also

\( fg = gxxf = gf \).

Damit ist die Kommutativität bewiesen.

Mister