Zeigen sie: Ist m ∈ ℕ mit m ≥3, so ist φ(m) gerade.

Question

es geht um die flogende Aufgabe:

Zeigen sie: Ist m ∈ ℕ mit m ≥3, so ist φ(m) gerade.

Kann mir da vielleicht jemand helfen?

Answer 1

für \( a \) mit \( ggT(a, m) = 1 \) ist auch \( ggT(m - a, m) = 1 \), denn wäre \( ggT(m - a, m) > 1 \), dann würde in der Darstellung

\( m - (m - a) = a \)

folgen, dass \( ggT(a, m) > 1 \) ist, da \( ggT(m, m-a) \) sowohl m als auch \( m-a \) teilt.

Somit tritt für jedes \( a \leq \frac{m}{2} \) auch \( m-a \geq \frac{m}{2} \) in der Menge aller zu \( m \) teilerfremden Zahlen auf, sodass deren Mächtigkeit gerade ist.

Für \( a = \frac{m}{2} \in \mathbb{Z} \) gilt \( ggT(m, a) > 1 \), sodass es nicht zur Menge aller zu \( m \) teilerfremden Zahlen gehört.

Mister