Zu Zahlentheoretische Funktionen. Eulersche φ-Funktion und τ(n) ist die Teileranzahl-Funktion.

Question

a) Zu zeigen: φ = µ * id_ℕ

id_ℕ ist die Identität auf ℕ, id_ℕ(n)=n

Die Multiplikativität der Eulerschen φ-Funktion darf als bekannt vorausgesetzt werden.

Definition φ(n) := # {k, 1≤k≤n : ggT(k,n)=1

Definition µ(n)

$$ µ(n):=\begin{cases} 1 & wenn\quad n=1 \\ { (-1) }^{ r } & wenn\quad { \alpha  }_{ 1 }={ \alpha  }_{ 2 }=...=1 \\ 0 & sonst\quad (d.h.\quad mindestens\quad ein\quad { \alpha  }_{ i }\ge 2) \end{cases} $$

b) Welche Werte nimmt die Zahlentheoretische Funktion µ * τ an?

Definition τ(n) ist die Teileranzahl-Funktion.

$$ \tau (n):=\sum _{ d|n }^{ \quad  }{ 1 } { ( }n∈ℕ) $$

Comments

was sind denn die alphas und das r in der Def.

von μ ?   Haben die irgendwas mit der PFZ von n zu tun ??

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r ist die Anzahl der Primfaktoren in der PFZ.

α_i sind die Exponenten in der PFZ.

Answer 1

Irgendwas stimmt da aber nicht:

etwa μ(6) = (-1)^2 = 1    denn 6 = 2*3 also gibt es α₁ =  α₂ = 1

aber  φ(6) = 2  und   μ(6)* 6 = 6   Widerspruch!