Wie bildet man die Ober-und Untersumme bei folgender Aufgabe? f:y= 1/4 x^2 + 2 im Intervall [0,b] .

Question

Hallo

Wie löst man folgende Aufgab:

Bilde die Obersumme O_n, die Untersumme U_n und die Fläche A im Intervall [0,b] für die Funktion

 f:y= 1/4 x^2 + 2 im Intervall [0,b] (n gleiche Teilintervalle der Breite h)?

Idee: Keine

Danke 

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Vom Duplikat:

Titel: Berechnung von Ober- und Untersumme

Stichworte: untersumme,obersumme

Wie berechnet man die Ober- u. Untersumme für eine Fläche ?

Answer 1

Da die Funktion in [0,b] stetig und streng monoton steigend ist, gilt (h = b/n):

O_n = \(\sum\limits_{k=1}^{n} ((k·b/n)^4\) • b/n) + 2b

= b⁵/n⁵ • \(\sum\limits_{k=1}^{n} k^4\)  + 2b 

= b⁵/n⁵ • 1/30 • n • (n+1) • (2n+1) • (3n²+3n-1) + 2b     [ = ∑ ]

[  Solche Summenformeln findest du hier:

http://www.arndt-bruenner.de/mathe/Allgemein/summenformel2.htm

Ein n von n⁵ kürzt sich weg, die anderen werden (n,n,n²) in die drei Klammern multipliziert: ]

= b⁵/30 • (1+1/n) • (2+1/n) • (3+3/n-1/n²) + 2b

→_n→∞   b⁵/30 • 1 • 2 • 3  + 2b   =  1/5 • b⁵ + 2b = A

-----------------

U_n = \(\sum\limits_{k=0}^{n-1} ((k·b/n)^4·b/n)\) + 2b   [ = O_n - b/n • (b⁴ + 2) ]

Gruß Wolfgang