Berechne Ober- & Untersumme von -x²+ 4x +1 im Intervall [ 1;3]

Question

Aufgabe:

3 Jetzt aber richtig
Übung 3.1 :
Betrachte die Funktion \( f(x)=-x^{2}+4 x+1 \). Berechne \( \mathrm{O}_{8} \) und \( \mathrm{U}_{8} \) im Intervall \( [1 ; 3] \) und deren Mittelwert.

Problem/Ansatz:

Huhu,

Kann mir jemand bitte einmal die Lösung geben, damit ich vergleichen kann?

Meine Rechnung:

O8 = 1/4 × ( f( 1.25) + f(1,5) + f(1,75) + f(2)+ f(2,25) + f(2,5) + f(2,75) + f(3)) = 9.31 FE

U8= 1/4 × ( f (1)+ f(1.25) + f(1.5) + f(1.75) + f(2) + f(2.25) + f(2.5) + f(2.75)) = auch 9.31?

Mh also irgendwie muss ich falsch gerechnet haben, weil O & U können ja nicht gleich sein, oder?

LG :)

Answer 1

Du hängst dem Irrtum an, dass man einmal prinzipiell den linken und einmal prinzipiell den rechten Intervallrand nehmen muss. Für die Untersumme braucht nur bei den ersten vier Streifen den Wert des linken Rands, danach sind die kleineren Werte jeweils rechts.

Answer 2

$$ f(x)=-x^{2}+4 x+1 $$$$ f'(x)=-2x+4=0 $$$$x=2$$

Für x<2 steigt die Funktion,

für x>2 fällt sie!

Darum

O8 = 1/4 × ( f( 1.25) + f(1,5) + f(1,75) + f(2)+ f(2) + f(2,25) + f(2,5) + f(2,75))

U8= 1/4 × ( f (1)+ f(1.25) + f(1.5) + f(1.75) + f(2.25) + f(2.5) + f(2.75)+f(3.00)