Gleichung 3. Grades: Linearfaktorzerlegung als Mehrfachanwendung des Distributivgesetzes!?

Question

Ich soll mit einem Beispiel erklären was das ist...

Ich kann im Internet dazu aber überhaupt nichts finden...

Answer 1

Eine Gleichung 3. Grades kann im Bereich der reellen Zahlen in maximal 3 Linearfaktoren der Form (x-a)(x-b)(x-c) zerlegt werden. Dabei sind a, b und c die Nullstellen der Funktion. Multipliziert man diese Linearfaktoren aus, erhält man die ursprüngliche Funktion. Im Bereich der komplexen Zahlen kann man jede Funktion 3. Grades genau in 3 Linearfaktoren zerlegen.

 

Z.B. die Funktion f(x) = x^3 - 7x - 6

hat die Nullstellen 3, -2 und -1. Demnach lässt sie sich in Linearfaktoren zerlegen f(x) = (x-3)(x+2)(x+1) = x^3 - 7x - 6. Letzteres bekommt man heraus, wenn man das Distributivgesetz auf die Linearfaktoren anwendet, sie also ausmultipliziert.

Comments

Aber was nun!? Was bringt mir das Ganze?

Wäre es nicht sinnvoller man hätte nur 2 nullstellen gegeben und müsste sich dann die 3. ausrechnen oder man hat nur eine gegeben?

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Es gibt verschiedene Vorteile. Ein paar, die mir einfallen, sind

- man sieht auf den ersten Blick, wo die Nullstellen der Funktion sind

- du kannst damit einige algebraische Summen in Produkte umwandeln, was insb. bei Bruchgleichungen von Vorteil ist

- du kannst dir einfach Funktionen aufstellen mit den Nullstellen deiner Wahl, z.B. möchte ich eine Funktion mit den Nullstellen 1,2,3,4, dann ist f(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)

- wenn dir die Partialbruchzerlegung geläufig ist - dort ist das sehr von Vorteil

- man sieht, dass die Funktion durch (x-3), (x+2), (x+1) teilbar sein muss => besseres Verständnis der Polynomdivision

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aber kann ich dieses prinzip auch irgendwie dazu nutzen dass ich die nullstellen rausbekomme oder sind diese schon immer im Voraus bekannt

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Nein, du weisst jetzt nur, dass, wenn du eine Nullstelle weißt, die Funktion durch eine Polynomdivision durch (x-[deine Nullstelle]) dividieren kannst, wonach du unter Umständen die weiteren Nullstellen berechnen kannst.

Bei der Gleichung 0 = x³ - 7x - 6 kommst du z.B. ohne Polynomdivision erstmal nicht weiter, um die Nullstellen zu bestimmen. Weisst du aber, dass eine Nullstelle bei -1 liegt (raten), kannst du eine Polynomdivision durchführen:

(x^3 - 7x - 6):(x+1) = x^2-x-6

und x^2 - x - 6 = 0 kannst du mit der pq-Formel lösen, um die anderen Nullstellen zu ermitteln.

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Ok dann weiß ich jetzt bescheid. ;)

Answer 2

Also eine Gleichung 3.Grades hat im allgemeinen die Form
ax^3+bx^2+cx+d=0

jetzt kann man das Distirbutivgesetz rückwärts anweden:
 

x(ax^2+bx+c)+d=0
 

x(x(ax+b)+c)+d=0

 

Ist das das was du haben wolltest?