Höhen verschiedener Pflanzen berechnen (Funktionenschar)

Question

Die Funktionenschar \( \mathrm{f}_{\mathrm{k}} \) mit \( \mathrm{k}>0 \) wird als Modell zur Beschreibung der Wachstumsgeschwindigkeit der Höhe verschiedener Pflanzen in den ersten beiden Monaten verwendet; \( \mathrm{x} \) in Monaten und \( \mathrm{f}_{\mathrm{k}}(\mathrm{x}) \) in Metern pro Monat.न. Von \( \mathrm{x}=2 \) bis \( \mathrm{x}=4 \) sinkt die Wachstumsgeschwindigkeit linear auf den Wert 0 . Skizzieren Sie für \( k=0,5 \) den beschriebenen Sachverhalt.

Berechnen Sie für \( k=0,5 \) die Höhe der Pflanze nach vier Monaten, wenn sie zu Beginn der Beobachtung drei Zentimeter hoch war. Alle Graphen der Funktionenschar \( \mathrm{f}_{k} \) liegen für \( x>0 \) und \( k>0 \) unterhalb der Geraden mit der Gleichung \( \mathrm{y}=\mathrm{x} \).

Begründen Sie damit, dass fūr alle \( k>0 \) der Zuwachs im ersten Monat kleiner als 0,5 Meter ist.

Ansatz/Problem:

für f_k gilt: f_k = x • e^{-0,5k•x^2}

Also ich weiß nicht wie ich die Höhe bestimmen soll. Was ich bis jetzt hab ist:

v=s/t und wenn man einfach v durch fk ausrechnet kann man es ja mit t = 4 Monaten ausrechnen aber zu Beginn sind es ja schon 3 cm...

Vielleicht mit f(x) = a • e^{k • t}

Aber wie bestimme ich dann k dafür brauch ich doch einen x und den dazugehörigen y-Wert...

Answer 1

f(x) = x·e^{- k·x^2/2}

F(x) = -e^{- k·x^2/2}/k

F(4) - F(0) = -e^{- 8·k}/k - (- 1/k) = 1/k - e^{- 8·k}/k = 1/0.5 - e^{- 8·0.5}/0.5 = 1.963 m

Sie ist um 1.96 gewachsen ist jetzt also 1.99 cm hoch.

Comments

woher kommt das F(X)

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achso das ist die aufleitung, sodass du die Höhe zum Monat ermitteln kannst. Dann rechnet man die Höhe zum 4. Monat minus die zu Beginn um die Veränderung/die Wachstumsentwicklung zu bestimmen und dann addiert man die plus die 3 cm, da die zu Beginn da sind.

Hab ich das richtig verstanden

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aber du hast für k nicht die 0,5 eingesetzt...

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Ja das hast du richtig verstanden. Rechne das aber selber nochmal genau nach.

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kannst du mir vielleicht bei der Aufgabe mit dem begründen einen tipp geben wie ich dass machen kann ? :)

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Bilde

F(1) - F(0) = 1/k - e^{- k/2}/k = (1 - e^{- k/2})/k < 1/2

Mache hier eventuell eine Kurvenuntersuchung. Grenzwert für k --> 0 und Untersuchung auf Monotonie.

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aber was hat das mit der Geraden zu tun ?

wo hängt hier der Zusammenhang

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Das ist der allgemeine Zuwachs im ersten Monat. Abhängig von k. Du sollst zeigen das es für alle k der Zuwachs kleiner als 0.5 m ist.

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Also die Gerade beschreibt die Zuwachsrate, was aber ehrlich gesagt keinen sinn ergibt, weil sie bei x=1 nicht 0,5 ist. Das was du geschrieben hast verstehe ich zwar, jedoch sehe ich den zusammenhang mit der gerade nicht ...

wäre lieb wenn du das noch mal für weniger intelligente wiederholen könntest.

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Du kannst im Bereich von 0 bis 1 f(x) nach oben Abschätzen mit f(x) = x

Damit ist dann F(x) = 1/2*x^2

Und damit wäre F(1) - F(0) = 1/2. Der Zuwächs wäre also genau 1/2 wenn die Funktion x wäre. Da unsere Funktion aber immer kleiner ist muss der Zuwachs sicher unter 1/2 liegen.