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Das Objekt unserer Untersuchungen ist die Funktionenschar$$f_k(x)=-(kx+1)\cdot e^{2kx}\quad;\quad k>0$$Zur Bestimmung der Wendetangente brauchen wir den Wendepunkt. Kandidaten für Wendepunkte sind die Nullstellen der 2-ten Ableitung. Also leiten wir \(f_k(x)\) zwei Mal ab.
$$f'_k(x)=-\left(\underbrace{(kx+1)}_{=u}\cdot \underbrace{e^{2kx}}_{=v}\right)'=-\left(\underbrace{k}_{=u'}\cdot \underbrace{e^{2kx}}_{=v}+\underbrace{(kx+1)}_{=u}\cdot \underbrace{\overbrace{e^{2kx}}^{\text{äußere Abl.}}\cdot\overbrace{2k}^{\text{innere Abl.}}}_{=v'}\right)$$$$\phantom{f'_k(x)}-ke^{2kx}\left(1+2(kx+1)\right)=\pink{-ke^{2kx}\cdot(2kx+3)}$$
$$f''_k(x)=-\left(\underbrace{(2kx+3)}_{=u}\cdot \underbrace{e^{2kx}}_{=v}\right)'=-\left(\underbrace{2k}_{=u'}\cdot \underbrace{e^{2kx}}_{=v}+\underbrace{(2kx+3)}_{=u}\cdot \underbrace{\overbrace{e^{2kx}}^{\text{äußere Abl.}}\cdot\overbrace{2k}^{\text{innere Abl.}}}_{=v'}\right)$$$$\phantom{f''_k(x)}=-2ke^{2kx}(1+(2kx+3))=-2ke^{2kx}\cdot(2kx+4)=\pink{-4ke^{2kx}\cdot(kx+2)}$$
In der zweiten Ableitung ist der Vorfaktor \((\pink{-4ke^{2kx}})\) stets von Null verschieden, denn \((k>0)\) gilt per Aufgabenstellung und die Exponentialfunktion ist ebenfalls stets positiv. Also kann nur der Term in der Klammer zu Null werden:$$\pink{(kx+2)}\stackrel!=0\implies kx=-2\implies x=-\frac2k$$
Dieser x-Wert ist streng genommen nur ein Kandidat für einen Wendepunkt. Wir könnten ihn jetzt noch prüfen, indem wir zeigen, dass die 3-te Ableitung an dieser Stelle ungleich Null ist, aber da es der einzige Wendepunkt-Kandidat ist und wir dem Aufgabensteller vertrauen, dass es einen Wendepunkt gibt, verzichten wir auf die explizite Prüfung.
Mit \(f(-\frac2k)=\frac{1}{e^4}\) können wir nun den Wendepunkt angeben:\(\quad \pink{W\left(-\frac2k\big|\frac{1}{e^4}\right)}\)
Als nächstes brauchen wir die Wende-Tangente, also die Tangente \(t_k(x)\) an die Funktion \(f_k(x)\) an der Wendestelle \(x_0=-\frac2k\).
Dazu setzen wir in die allgemeinte Tangentengleichung$$t(x)=f(x_0)+f'(x_0)\cdot(x-x_0)$$die Werte \(x_0=-\frac2k\) sowie \(f(x_0)=\frac{1}{e^4}\) und \(f'(x_0)=\frac{k}{e^4}\) ein:$$t_k(x)=\frac{1}{e^4}+\frac{k}{e^4}\cdot\left(x-\left(-\frac2k\right)\right)=\frac{1}{e^4}+\frac{k}{e^4}\cdot\left(x+\frac2k\right)=\frac{1}{e^4}+\frac{k}{e^4}\,x+\frac{2}{e^4}$$$$\pink{t_k(x)=\frac{k}{e^4}\,x+\frac{3}{e^4}}$$
~plot~ -(x+1)*e^(2*x) ; 1/e^4*x+3/e^4 ; {-2|1/e^4} ; -(2x+1)*e^(4*x) ; 2/e^4*x+3/e^4 ; {-1|1/e^4} ; [[-4|1|-0,01|0,06]] ~plot~
Die Schnittpunkte der Tangente mit den Koordinatenachsen finden wir so:$$t_k(x_s)\stackrel!=0\implies\frac{k}{e^4}x_s=-\frac{3}{e^4}\implies kx_s=-3\implies x_s=-\frac3k\implies X\left(-\frac3k\bigg|0\right)$$$$t_k(0)=\frac{3}{e^4}\implies Y\left(0\bigg|\frac{3}{e^4}\right)$$
Die eingeschlossene Fläche ist ein rechtwinkliges Dreieck (die Koordinatenachsen stehen senkrecht aufeinander) mit den Seitenlängen \(\frac3k\) und \(\frac{3}{e^4}\). Daher gilt für die Fläche:$$F=\frac12\cdot\frac3k\cdot\frac{3}{e^4}\pink{=\frac{9}{2e^4}\cdot\frac1k}$$Mit wachsendem \(k\) wird der Faktor \(\frac1k\) kleiner, sodass die Fläche \(F\) mit wachsendem \(k\) tatsächlich abnimmt.
