\( \mathrm{ft}_{\mathrm{t}}(\mathrm{x})=\frac{1}{4 t} \mathrm{x}^{3}+\frac{3}{4} \mathrm{x}^{2} ; \mathrm{x} \in \mathbb{R} \)
Untersuche die Funktionen auf Symmetrie, Schnittpunkte mit den Achsen, Extremstellen und Wendepunkte.
Symmetrie:
Punktsymmetrie im Wendepunkt
Schnittpunkte mit den Achsen:
Schnitt mit der x-Achse:
\(\frac{1}{4 t} \mathrm{x}^{3}+\frac{3}{4} \mathrm{x}^{2}=0 \)
\( \mathrm{x}^{2}*(\frac{1}{4 t}*x +\frac{3}{4} )=0 \)
\( \mathrm{x}^{2}=0 \) → doppelte Nullstelle
\( \frac{1}{4 t}*x +\frac{3}{4} =0 \) → \( x_1 =-3t \)
Schnitt mit der y-Achse:
\(f(0)=0\)
Extremstellen:
\( f´(x)=\frac{3}{4 t}* \mathrm{x}^{2}+\frac{3}{2} x \)
\( \frac{3}{4 t}* \mathrm{x}^{2}+\frac{3}{2} x=0 \)
\( x*(\frac{3}{4 t}* \mathrm{x}+\frac{3}{2})=0 \)
\( x_1=0 \) \(f(0)=0\)
\( \mathrm{x}=- 2t\) \(f(-2t)=t^2\)
Art der Extremwerte:
\( f´´(x)=\frac{3}{2 t}* x+\frac{3}{2} \)
\( f´´(0)=\frac{3}{2} >0 \) Minimum
\( f´´(- 2t)=-\frac{9}{2}<0 \) Maximum
Wendepunkt:
Der Wendepunkt liegt in der Mitte zwischen den Extrema.
\(W(-t|\frac{1}{2}t^2)\)
Es ist zwar nicht verlangt, aber ich zeige mal die Bestimmung der Ortslinie für die Maxima.
\( \mathrm{x}=- 2t\) Nun die x-Koordinate nach t umstellen: \( t=-\frac{1}{2}x\)
Dies nun in \(f(x)\) einsetzen: \(o(x)=\frac{1}{4} \mathrm{x}^{2}\)