Parameterfunktionen / Funktionenschar Klasse 13

Question

1) \( \mathrm{ft}_{\mathrm{t}}(\mathrm{x})=\frac{1}{t} \mathrm{x}^{3}+2 \mathrm{x}^{2}+\mathrm{tx} ; \mathrm{x} \in \mathbb{R} \)

Zeichnung für \( t=3 \) im Intervall \( -4 \leq x \leq 0,5 \) (LE \( 2 \mathrm{~cm} \) )
2) \( f_{t}(x)=t x^{3}-3(t+1) x ; x \in \mathbb{R} \)
Zeichnung für \( \mathrm{t}=1 \mathrm{im} \) Intervall \( -2,5 \leq \mathrm{x} \leq 2,5(\mathrm{LE} 1 \mathrm{~cm}) \)
3) \( \mathrm{ft}_{\mathrm{t}}(\mathrm{x})=\frac{1}{4 t} \mathrm{x}^{3}+\frac{3}{4} \mathrm{x}^{2} ; \mathrm{x} \in \mathbb{R} \)

Aufgabe

Untersuche die Funktionen auf Symmetrie, Schnittpunkte mit den Achsen, Extremstellen und Wendepunkte.

Comments

Ich spendiere mal den Graphen zur Aufgabe 2). Vielleicht hilft das ;-) $$f_{t}\left(x\right)=tx^{3}-3\left(t+1\right)x$$

https://www.desmos.com/calculator/neof0bnqi4

Den Punkt \(t=\dots\) kann man horizontal verschieben.

Answer 1

\( \mathrm{ft}_{\mathrm{t}}(\mathrm{x})=\frac{1}{4 t} \mathrm{x}^{3}+\frac{3}{4} \mathrm{x}^{2} ; \mathrm{x} \in \mathbb{R} \)

Untersuche die Funktionen auf Symmetrie, Schnittpunkte mit den Achsen, Extremstellen und Wendepunkte.

Symmetrie:

Punktsymmetrie im Wendepunkt

Schnittpunkte mit den Achsen:

Schnitt mit der x-Achse:

\(\frac{1}{4 t} \mathrm{x}^{3}+\frac{3}{4} \mathrm{x}^{2}=0 \)

\( \mathrm{x}^{2}*(\frac{1}{4 t}*x +\frac{3}{4} )=0 \)

\( \mathrm{x}^{2}=0 \) → doppelte Nullstelle

\( \frac{1}{4 t}*x +\frac{3}{4} =0 \) →  \( x_1  =-3t \)

Schnitt mit der y-Achse:

\(f(0)=0\)

Extremstellen:

\( f´(x)=\frac{3}{4 t}* \mathrm{x}^{2}+\frac{3}{2} x  \)

\( \frac{3}{4 t}* \mathrm{x}^{2}+\frac{3}{2} x=0  \)

\( x*(\frac{3}{4 t}* \mathrm{x}+\frac{3}{2})=0  \)

\( x_1=0  \)  \(f(0)=0\)

\(  \mathrm{x}=- 2t\)    \(f(-2t)=t^2\)

Art der Extremwerte:

\( f´´(x)=\frac{3}{2 t}* x+\frac{3}{2}  \)

\( f´´(0)=\frac{3}{2} >0 \) Minimum

\( f´´(- 2t)=-\frac{9}{2}<0 \) Maximum

Wendepunkt:

Der Wendepunkt liegt in der Mitte zwischen den Extrema.

\(W(-t|\frac{1}{2}t^2)\)

Es ist zwar nicht verlangt, aber ich zeige mal die Bestimmung der Ortslinie für die Maxima.

\(  \mathrm{x}=- 2t\)  Nun die x-Koordinate nach t umstellen: \(  t=-\frac{1}{2}x\) 

Dies nun in \(f(x)\) einsetzen: \(o(x)=\frac{1}{4} \mathrm{x}^{2}\)

Answer 2

1. /2. setze jeweils 1 für t ein und mach Wertetabellen

1. f(x) = x^3+2x^2+x

a) Keien Symmetrie, das gerade und ungerade Potenzen auftreten

b) x-Achse.

f(x) =0

x(x^2+2x+1) = 0

x(x+1)^2 = 0

x= 0 v x= -1

-> S1(0/0) und S2(-1/0)

y-Achse.

f(0) = 0 -> S(0/0)

c) Extremstellen:

f '(x) = 0

3x^2+4x+1 = 0

x^2+4/3*x+1/3 = 0

pq-Formel:

x1/2 = ....

d) Wendepunkt;

f ''(x) =0

6x+4 = 0

x= -2/3

W(-2/3|f(-2/3)

2. und 3. schaffst du alleine

zur Kontrolle:

https://matheguru.com/rechner/kurvendiskussion

Comments

Ich danke Ihnen vielmals für die Antwort und Lösung!

Ich hätte doch noch eine Frage. Muss man immer eine Wertetabelle machen und für t einen Wert einsetzen? Wir haben es in der Schule nicht erklärt bekommen, und ich weiß nicht ganz wie man das löst.

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Du darfst nur für die Zeichnung einen Wert einsetzen. Meist werden dort auch mehrere Werte für t eingesetzt und dann beispielhaft mehrere Kurven gezeichnet. Im Rechenteil darfst du nicht für t irgendwelche Werte einsetzen. Extrempunkte sind also in Abhängigkeit von t zu berechnen.

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Muss man immer eine Wertetabelle machen und für t einen Wert einsetzen?

Wenn in der Aufgabe verlangt wird

Zeichnung für t=1
...
Zeichnung für t=3

erübrigt sich ja wohl die Frage, ob du für t einen konkreten Wert einsetzen musst. Die Aufgabe verlangt es von dir.

Muss man immer eine Wertetabelle machen

Nein. Man muss nur eine Wertetabelle machen, wenn

a) die Aufgabe verlangt "Mache eine Wertetabelle",

b) du keine elektronischen Hilfsmittel hast oder vorhandene elektronische Hilfsmittel nicht ausreichend bedienen kannst, welche dir den Graphen zum Abzeichnen anzeigen können

c) du nicht in der Lage bist, selbst Nullstellen, Hochpunkte, Tiefpunkte, Wendepunkte etc. auszurechnen, mit deren Hilfe du den Verlauf des Graphen auch ohne Wertetabelle vorhersagen könntest.

Eine Wertetabelle erlaubt es im Extremfall eben auch bei sonstiger völliger Unkenntnis, den Verlauf des Graphen zu erhalten.

Answer 3

Du darfst hier nicht einfach Werte für \(t\) einsetzen und dann rechnen (nur für die Zeichnung ist das laut Aufgabe in den 1), 2) gefordert).

Ich gehe davon aus, dass Du die gefragte Rechnungen/Überlegungen machen könntest für ein konkretes \(t\). Dann rechne einfach genauso, nur mit der Variablen \(t\). Das führt dazu, dass die Ergebnisse halt von \(t\) abhängen, ist aber kein Problem. Man rechnet mit \(t\) wie mit einer Zahl, ist jetzt halt nur ein Buchstabe.

Answer 4

Untersuche die Funktionen auf Symmetrie, Schnittpunkte mit den Achsen, Extremstellen und Wendepunkte.

f(x) = 1/t·x^3 + 2·x^2 + t·x
f'(x) = 3/t·x^2 + 4·x + t
f''(x) = 6/t·x + 4

Symmetrie

Keine untersuchte Symmetrie bedingt durch ungerade und gerade Potenzen von x.

Y-Achsenabschnitt

f(0) = 0 → (0 | 0)

Nullstellen

f(x) = 1/t·x·(x^2 + 2·t·x + t^2) = 1/t·x·(x + t)^2 = 0 → x = 0 oder x = - t → (0 | 0) und (- t | 0)

Extrempunkte

f'(x) = 3/t·x^2 + 4·x + t = 3/t·(x^2 + 4/3·t·x + 1/3·t^2) = 0 --> x = - t/3 ∨ x = - t

f(- t/3) = - 4/27·t^2 → TP(- t/3 | - 4/27·t^2)

f(-t) = 0 → HP(- t | 0)

Wendepunkte

f''(x) =  6/t·x + 4 = 0 --> x = - 2/3·t

f(- 2/3·t) = - 2/27·t^2 → WP(- 2/3·t | - 2/27·t^2)

Answer 5

Hallo,

hier die Rechnung zu Aufgabe 3:

\(f_t(x)=\frac{1}{4t}x^3+\frac{3}{4}x^2\\ f'_t(x)=\frac{3}{4t}x^2+\frac{3}{2}x\\ f''_t(x)=\frac{3}{2t}x+\frac{3}{2}\)

Keine Symmetrie, weil f(x) gerade und ungerade Potenzen hat.

Schnittpunkt mit der y-Achse bei x = 0, da f(0) = 0

Schnittpunkte mit der x-Achse:

\(\frac{1}{4t}x^3+\frac{3}{4}x^2=0\\ x^2\cdot (\frac{1}{4t}x+\frac{3}{4})=0\Rightarrow \\ x^2=0\quad \vee\quad \frac{1}{4t}x+\frac{3}{4}=0\Rightarrow \\ x_1=0\quad \text{(doppelte Nullstelle)}\quad x_2=-3t\)

Extremstellen:

\(x\cdot (\frac{3}{4t}x+\frac{3}{2})=0\Rightarrow \\ x=0\quad \vee\quad \frac{3}{4t}x+\frac{3}{2}=0\\ x_1=0\quad x_2=-2t\)

Wendepunkt:

\(\frac{3}{2t}x+\frac{3}{2}=0\Rightarrow x = -t\\\)

Damit hat der Wendepunkt die Koordinaten \(W(-t|0,5t^2)\).

Gruß, Silvia