Gleichung der Ortskurve der Hochpunkte aller Graphen von ft

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die Gleichung der Ortskurve der Hochpunkte aller Graphen von ft. (t ist ein Parameter)

x,t ∈ℝ

ft(x)=-x²-4tx+1

Wie genau gehe ich hier fort? Also erstmal die erste, zweite und dritte Ableitung. Aber danach?

Vielleicht danach die erste Ableitung gleich 0 Setzen? Danach prüfen, ob ein Extrempunkt vorliegt?

Und danach vielleicht so:

Den x-Wert des Extremwerts in f(x) einsetzen und y berechnen.

Den x-Wert des Extremwerts nach der Formvariable umstellen und
damit in den y-Wert des Extrempunkts gehen um die Ortskurve zu ermitteln.

Ist das so richtig?

Answer 1

\(ft(x)=-x²-4tx+1\)

\(ft´(x)=-2x-4t\)

\(-2x-4t=0→x=-2t→ft(-2t)=-(-2t)²-4t*(-2t)+1=4t^2+1\)

\(x=-2t\) →\(t=-\frac{1}{2}x\)    einsetzen in      \(y= 4t^2+1\)→   \(y= x^2+1\) ist die Ortskurve

Answer 2

Da ist sehr viel Überflüssiges dabei.

Was willst du mit der dritten Ableitung?

Wieso willst du überhaupt mit der zweiten Ableitung die Art des Extrempunkts bestimmen? Bei einer quadratischen Funktion der gegebenen Art ist der Graph eine nach unten geöffnete Parabel. Ihr Scheitelpunkt ist also der Hochpunkt.

Und danach vielleicht so:

Nicht fragen, sondern machen.

Answer 3

Hallo,

Wie genau gehe ich hier fort? Also erstmal die erste, zweite und dritte Ableitung. Aber danach?

Die 1. Ableitung brauchst du zur Bestimmung des Hochpunktes der nach unten geöffneten Parabel.

Somit kannst du dir die 2. Ableitung sparen, mit der du bestimmst, ob es sich um einen Hoch- oder Tiefpunkt handelt.

Nach Ermittlung des Hochpunktes \(H(-2t|4t^2+1\)

löst du die x-Koordinate nach t auf ( t = -0,5x).

Dieses Ergebnis setzt du für y ein:

\(y=4\cdot(-0,5x)^2+1=x^2+1\) und hast damit die Gleichung der Ortskurve bestimmt.

Gruß, Silvia

Answer 4

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

$$f_t(x)=-x^2-4tx+1=-x^2-4tx\,\underbrace{-4t^2+4t^2}_{=0}+1=-(x^2+4tx+4t^2)+4t^2+1$$$$f_t(x)=-(x+2t)^2+(4t^2+1)$$Die Hochpunkte sind also \(H_t(-2t|4t^2+1)\).

Diese Hochpunkte liegen auf einer Parabel, denn setzen wir \((x_H=-2t)\), so ist der zugehörige \(y_H\)-Wert des Hochpunktes \(y_H=(-2t)^2+1=x_H^2+1\). Alle Hochpunkte liegen daher auf dem Graphen der Funktion:$$y(x)=x^2+1$$

~plot~ -x^2+8x+1 ; -x^2+4x+1 ; -x^2+1 ; -x^2-4x+1 ; -x^2-8x+1 ; [[-6|6|-6|18]] ; x^2+1 ; {4|17} ; {2|5} ; {0|1} ; {-2|5} ; {-4|17} ~plot~