Geben Sie die Gleichung der Ortskurve aller Hochpunkte der Scharkurven mit

Question

g k (x) = - 1/4x^4 + 2 k^2 x^2 + 1 

mit k > 0 an. 

ich habe jetzt erst mal den Hochpunkt ausgerechnet und habe (2k / 1 ) raus, bezweifle aber dass dieses Ergebnis richtig ist .. 

Bitte ausführliche Antworten, danke 

Answer 1

f '(x) = 4·k²·x - x³ = 0  →  x = - 2·k  ∨  x = 2·k  ∨  x = 0

Wegen der M - Form ( Faktor vor x⁴ negativ)   hat sie für Hochpunkte bei x = ± 2k 

f ( ±2k) = 4k⁴ +1  →   H_1,2 (  ±2k | 4k⁴ + 1 ) = ( x | y )

x = ± 2k → k = ± 1/2 x  →  y = 4 • 1/16 x⁴ + 1 = 1/4 x⁴  + 1

Die Gerade  y = 1/4 • x⁴ + 1  ist also die Ortskurve für alle Hochpunkte.

Gruß Wolfgang

Answer 2

Extrempunkte f'(x) = 0

4·k^2·x - x^3 = 0 --> x = ± 2·k oder x = 0

f(0) = 1 --> TP(0 | 1)

f(2·k) = - 1/4·(2·k)^4 + 2·k^2·(2·k)^2 + 1 = 4·k^4 + 1 --> HP(± 2·k | 4·k^4 + 1)

Ortskurve der Extrempunkte

4·k^2·x - x^3 = 0 --> k = x/2 oder k = - x/2 oder k = 0

y = - 1/4·x^4 + 2·k^2·x^2 + 1

y = - 1/4·x^4 + 2·(x/2)^2·x^2 + 1 = 1/4·x^4 + 1

Answer 3

g k (x) = - 1/4x⁴ + 2 k² x² + 1

g ´( x ) = - x^3 + 4 * k^2 * x
- x^3 + 4 * k^2 * x = 0
x * ( - x^2 + 4 *k^2 ) = 0
x = 0
und
- x^2 + 4 *k^2 = 0
x^2 = 4*k^2
x = ± 2 k

g ´´ ( x ) = -3* x^2 + 4 * k^2
g ´´( 2k ) = -3 * 4*k^2 + 4 * k^2
g ´´( 2k ) = -8 * k^2
Negativ : Hochpunkt

f ( 2k ) = -1/4* (2k)^4 + 2 * k^2 *(2k)^2 + 1
f ( 2k ) = -4 ' k^4 + 8*k^4 + 1
f ( 2k ) = 4 * k^4 + 1

Hochpunkte
( 2k | 4 * k^4 + 1 )

x = 2k
k = x/2

y = ort ( x ) = 4 * (x/2)^4 + 1
ort ( x ) = 1 / 8 * x^4 + 1

Mal sehen ob alles stimmt

k=1 blau
k = 2 rot
ort grün

~plot~ -1/4 * x^4 + 2 * 1 * x^2 + 1 ; -1/4 * x^4 + 2 * 2^2 * x^2 + 1 ; 1/4 * x^4 + 1  ; [[ 0 | 6 | 0 | 70 ]] ~plot~