Bestimmen Sie die Gleichung der Ortskurve, auf der die Hochpunkte aller Kt (t-x) *e^x liegen.

Question

Die Wendetangente von K_t schneidet die x-Achse in A_t .

B_t sei der Schnittpunkt von K_t mit der x-Achse.

Zeigen Sie, dass die Länge der Strecke A_t B_t einen von t unabhängigen Wert hat.

Hier noch einmal die Funktion: f_t (x) = ( t -x ) * e^x ; x∈ℝ

Vielen lieben Dank! Lg!

Answer 1

Ortskurve der Hochpunkte

Extrempunkte f'(x) = 0

- e^x·(x - t + 1) = 0

Nach t auflösen.

t = x + 1

Das für t in die Ausgangsfunktion einsetzen

y = e^x·((x + 1) - x) = e^x

Bitte skizziere dir den Sachverhalt auch einfach mal.

Weiter solltest du mal genau sagen was dir an den Aufgaben Probleme bereitet?

Answer 2

Die Wendetangente von K_t schneidet die x-Achse in A_t .
B_t sei der Schnittpunkt von K_t mit der x-Achse.
Zeigen Sie, dass die Länge der Strecke A_t B_t einen von t unabhängigen Wert hat.
Hier noch einmal die Funktion: f_t (x) = ( t -x ) * e^x ; x∈ℝ

f ( x ) = ( t - x ) * e^x
f ´( x ) = (-1) * e^x + ( t - x ) * e^x
f ´( x ) = e^x * ( t - x -1 )
e^x * ( t - x -1 ) = 0
Satz vom Nullprodukt
t - x -1 = 0
x = t - 1
f ( t - 1 ) = ( t - ( t -1 ) ) * e^x = e^x

H ( t - 1 | e^x )

Ortskurve
y = e^x

Bestimmung der Wendetangente
f ´( x ) = e^x * ( t - x -1 )
f ´´ ( x ) = e^x * ( t - x -1 ) + e^x * ( -1)
f ´´ ( x ) = e^x * ( t - x -2 )
e^x * ( t - x -2 )  = 0
t - x - 2 = 0
x = t - 2
f ( t - 2 ) =  ( t - ( t -2 )  ) * e^x
f ( t - 2 ) = 2 * e^x
W ( t - 2 | 2 * e^x )

f ´( x ) = e^x * ( t - x -1 )
f ´( t - 2  ) = e^x * ( t - ( t - 2 ) -1 )
f ´( t - 2  ) = e^x * ( 1 ) = e^x

y = m * x + b
2 * e^x = e^x * ( t -2 ) + b
2 * e^x - e^x * ( t - 2 ) = b
b = e^x * ( 2 - ( t -2 ) )
b = e^x  * ( 4 - t )

t ( x ) = e^x * x + e^x * ( 4 - t )

Schnittpunkt mit der x-Achse : y = 0
e^x * x + e^x * ( 4 - t ) = 0
e^x * ( x + 4 - t ) = 0
x + 4 - t = 0
x(A) = t - 4

Schnittpunkt von K_t mit der x-Achse
f ( x ) = ( t - x ) * e^x
( t - x ) * e^x = 0
t - x = 0
x(B) = t

x(A) - x(B) = t - 4 - t = - 4

und damit von t unabhängig

Alle Angaben ohne Gewähr.

mfg Georg

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Hier noch ein Graph
rot / blau : f - Graphen
grün : die Ortskurve