Ich habe hier Aufgaben, aber weiß nicht ob ich es richtig gerechnet habe. Kann vielleicht jemand einmal kontrollieren?
Aufgabe 1) Seien A=(-1,2,3) , B=(3,-2,-1) und C=(2,-3,1) drei Punkte im R3
a) Man berechne jeweils den Mittelpunkt der Strecke \(\xrightarrow { AB }\) , \(\xrightarrow { AC }\) und
\(\xrightarrow { BC }\)
Meine Rechnung:
Für $$\xrightarrow { AB }$$ = $$\frac { 1 }{ 2 } *\left[ \left( \begin{matrix} -1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix} \right) +\left( \begin{matrix} 3 \\ -2 \\ -1 \end{matrix} \right) \right] =\left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \right)$$
Für AC= $$\frac { 1 }{ 2 } *\left[ \left( \begin{matrix} -1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix} \right) +\left( \begin{matrix} 2 \\ -3 \\ 1 \end{matrix} \right) \right] =\left( \begin{matrix} 0,5 \\ -0,5 \\ 2 \end{matrix} \right)$$
Für BC= $$\frac { 1 }{ 2 } *\left[ \left( \begin{matrix} 3 \\ -2 \\ -1 \end{matrix} \right) +\left( \begin{matrix} 2 \\ -3 \\ 1 \end{matrix} \right) \right] =\left( \begin{matrix} 2,5 \\ -2,5 \\ 0 \end{matrix} \right)$$
b) Man berechne den Schwerpunkt S des Dreiecks ABC
Meine Rechnung:
$$\frac { 1 }{ 3 } *\left[ \left( \begin{matrix} -1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix} \right) +\left( \begin{matrix} 3 \\ -2 \\ -1 \end{matrix} \right) +\left( \begin{matrix} 2 \\ -3 \\ -1 \end{matrix} \right) \right] =\left( \begin{matrix} \frac { 4 }{ 3 } \\ -1 \\ 1 \end{matrix} \right)$$
Aufgabe2)
Gegeben seien die Punkte P=(-1,2,3), Q=(3,-2,-1) und R=(2,-3,1) im R3
a)Man berechne die Verschiebungsvektoren $$\xrightarrow { PQ } ,\xrightarrow { PR } \quad und\quad \xrightarrow { QR }$$
Meine Rechnung:
$$\xrightarrow { PQ }$$ = $$\left( \begin{matrix} 3 \\ -2 \\ -1 \end{matrix} \right) -\left( \begin{matrix} -1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} 4 \\ -4 \\ -4 \end{matrix} \right)$$
PR= $$\left( \begin{matrix} 2 \\ -3 \\ 1 \end{matrix} \right) -\left( \begin{matrix} -1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} 3 \\ -5 \\ -2 \end{matrix} \right)$$
QR= $$\left( \begin{matrix} 2 \\ -3 \\ 1 \end{matrix} \right) -\left( \begin{matrix} 3 \\ -2 \\ -1 \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} -1 \\ -1 \\ -2 \end{matrix} \right)$$
b) Man berechne die Länge der Vektoren $$\xrightarrow { PQ } ,\quad \xrightarrow { PR } ,\xrightarrow { QR }$$
Meine Rechnung:
$$\left| \xrightarrow { PQ } \right| =\sqrt { { (q_1-p_1) }^{ 2 } } +\sqrt { { (q_2-p_2) }^{ 2 } } +\sqrt { { (q_3-p_3) }^{ 2 } }$$
folgt: $$\left| \xrightarrow { PQ } \right| =\sqrt { { (3-(-1)) }^{ 2 } } +\sqrt { { ((-2)-2) }^{ 2 } } +\sqrt { { ((-1)-3) }^{ 2 } } =6,9282$$
Für PR= $$\left| \xrightarrow { PR } \right| =\sqrt { { (2-(-1)) }^{ 2 } } +\sqrt { { ((-3)-2) }^{ 2 } } +\sqrt { { (1-3) }^{ 2 } } =6,1644$$
Für QR= $$\left| \xrightarrow { QR } \right| =\sqrt { { (2-3) }^{ 2 } } +\sqrt { { ((-3)-(-2) }^{ 2 } } +\sqrt { { (1-(-1)) }^{ 2 } } =2,4494$$
c) Man berechne den von PQ und PR eingeschlossenen Winkel Alpha
Meine Rechnung
$$cos\alpha \left| \frac { \xrightarrow { a } *\xrightarrow { b } }{ \left| a \right| *\left| b \right| } \right|$$
Für PQ= $$cos\alpha \left| \frac { \left( \begin{matrix} -1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix} \right) *\left( \begin{matrix} 3 \\ -2 \\ -1 \end{matrix} \right) }{ \left| \sqrt { 14 } \right| *\sqrt { 14 } } \right| =135,5846$$
Für PR= $$cos\alpha \left| \frac { \left( \begin{matrix} -1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix} \right) *\left( \begin{matrix} 2 \\ -3 \\ 1 \end{matrix} \right) }{ \left| \sqrt { 14 } \right| *\sqrt { 14 } } \right| =110,924$$
Für QR= $$cos\alpha \left| \frac { \left( \begin{matrix} 3 \\ -2 \\ -1 \end{matrix} \right) *\left( \begin{matrix} 2 \\ -3 \\ 1 \end{matrix} \right) }{ \left| \sqrt { 14 } \right| *\sqrt { 14 } } \right| =38,213$$
d) Man berechne den Flächeninhalt des Dreiecks PQR
Meine Rechnung:
$$\xrightarrow { QR } =\xrightarrow { R } -\xrightarrow { Q } =\left( \begin{matrix} 2 \\ -3 \\ 1 \end{matrix} \right) -\left( \begin{matrix} 3 \\ -2 \\ -1 \end{matrix} \right) \quad =\left( \begin{matrix} -1 \\ -1 \\ 2 \end{matrix} \right)$$
$$\xrightarrow { PQ } =\xrightarrow { Q } -\xrightarrow { P } =\left( \begin{matrix} 3 \\ -2 \\ -1 \end{matrix} \right) -\left( \begin{matrix} -1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix} \right) \quad =\left( \begin{matrix} 4 \\ -4 \\ -4 \end{matrix} \right)$$
$$\frac { 1 }{ 2 } \left\| \left( \begin{matrix} -1 \\ -1 \\ 2 \end{matrix} \right) *\left( \begin{matrix} 4 \\ -4 \\ -4 \end{matrix} \right) \right\| =7,4833$$ beträgt der Flächeninhalt
und jetzt kommt das größte Problem. Die letzte Aufgabe kann ich nicht....ich zwar was versucht aber ich glaube vollkommen falsch. Na ja dass ist die AUFGABE erstmal!
Gegeben seien die drei Vektoren $$\xrightarrow { a } =\left( \begin{matrix} x \\ 2 \\ 3 \end{matrix} \right) ,\xrightarrow { b } \left( \begin{matrix} -1 \\ 1 \\ 3 \end{matrix} \right) \quad und\quad \xrightarrow { c } \left( \begin{matrix} -1 \\ 0 \\ x \end{matrix} \right)$$
a) Man berechne den Spatprodukt der drei Vektoren
b)Wie muss man x wählen, damit das Volumen des von den Vektoren a,b, und c aufgespannten Spats 20 ist?
Ich habe versucht x auszurechnen. Aber betimmmt falsch...so habe ich es versucht
$$\left( \begin{matrix} -1 \\ 1 \\ 3 \end{matrix} \right) -\left( \begin{matrix} x \\ 2 \\ 3 \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} -1-x \\ -1 \\ 0 \end{matrix} \right)$$
$$\sqrt { { (-1-x) }^{ 2\quad }+{ -1 }^{ 2 } +{ 0 }^{ 2 }}$$
$$\sqrt { { (-1-x) }^{ 2\quad }+{ -1 }^{ 2 } +{ 0 }^{ 2 }}=-20 \quad| { (...) }^{ 2 } $$
(-1-x)+1=400 | -1
(-1-x) = 399 | √
-1-x= 19,974 | +1
-x=20,974 |:(1)
x= -20,974
Könnt Ihr vielleicht mal schauen ob ich bisher alles richtig habe. Und bei Aufgabe 3, die letzte Aufgabe, da brauche ich Hilfe...ich kann es nicht :((
Danke für eure Mühe
ich glaube die letzte Aufgabe kann man nicht sehen, obwohl ich das mit dem Formeleditor gemacht habe. Wäre dankbar wenn es einer Korriegert!
Unknown: TeX korrigiert.
