Integrale von Funktionen berechnen

Question

Berechne die folgenden Integrale.

(a) $$ \int { cos(x)sin(2x)dx } $$

Hinweise: Additiostheorem verwenden

(b) $$ \int _{ 2 }^{ 1 }{ \frac { 1 }{ x+1 } dx } $$

Answer 1

b.)
[ ln (x + 1 ) ] ´ = 1 / ( x + 1 )
also
[ ln (x + 1 ) ]₁²

wieso stehen bei dir die Integrationsgrenzen umgedreht ?

Comments

Erstmals danke, ich glaube, das Ziel der Aufgabe sollte es sein, das Integral umzuformen zu
$$ -\int _{ 1 }^{ 2 }{ \frac { 1 }{ x+1 } dx } $$ und erst dann zu rechnen ?

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Kann ich dir auch nicht sagen. Das Ergebnis ist dasselbe.

Answer 2

Hallo

zu a)

Es gilt allgemein: sin(2x) = 2 sin(x) cos(x)

im Folgeintegral substituierst Du

z= cos(x)

damit solltest Du das Intergal lösen

:-)

Comments

Wennich diese Schritte ausführe, dann komme ich auf

$$ \int { 2{ z }^{ 2 } } sin(x)dx\quad mit\quad z=cos(x) $$

und nun hatten wir in der Vorlesung, dass man das dx zu einem dz umformen sollte. Aber ich habe jetzt ja zwei Variablen (x und z), wie mache ich das jetzt, dass ich anschliessend integriereren kann?

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dz/dx =-sin(x)

dx= dz/(-sin(x)

sin(x) kürzt sich weg.

eingesetzt:

= -2 integral z^2 dz

das kannst Du lösen

Resubstitution nicht vergessen

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So komme ich auf

$$ -\frac { 2 }{ 3 } { cos }^{ 3 }(x)+C $$

stimmt das so?

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Ja  das stimmt.