Untersuchen Sie die Reihe auf Konvergenz, absolute Konvergenz und berechnen Sie ggf. den Grenzwert

Question

Untersuchen Sie die Reihe \( \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{-e^{k-1}}{\pi^{k+1}} \) auf Konvergenz, absolute Konvergenz und berechnen Sie ggf. den Grenzwert.

Ich hab schon das Leipnizkriterium versucht, bin aber kläglich gescheitert. Die Aufgabe beschäftigt mich schon seit Stunden :S

Answer 1

wenn du den Faktor   (-1/pi^2) rausziehst hast du die geometrische Reihe mit den
Summanden (e/pi)^k 
Das ist die geometrische Reihe mit Anfangsglied (e/pi)  und  Quotient auch (e/pi).
und e/pi ist ja sicherlich kleiner als 1.

Nach der Formel für den Grenzwert der geometrischen Reihe ist der dann
  anfangsglied / (1 - Quotient)  =   (e/pi) / ( 1 - (e/pi)) =   e / (pi - e).
jetzt noch den rausgezogenen Faktor davor gibt
-e / (pi^3 - e*pi^2)   

Für absolute Konvergenz ist kein großer Unterschied, da ja alle Reihenglieder
negativ sind, es fällt einfach nur das "minus" beim Ergebnis weg.