Ich beschäftige mich gerade mit dem Satz von Bayes und den totalen Wahrscheinlichkeiten. Hierzu habe ich folgende Definition gefunden:
Theorie:
- Sind die Einzelwahrscheinlichkeiten bekannt, werden bedingte Wahrscheinlichkeiten über den Satz von Bayes berechnet:
\( P(A \mid B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)} \)
- Sind die bedingten Wahrscheinlichkeiten bekannt, werden die Einzelwahrscheinlichkeiten über den Satz der totalen Wahrscheinlichkeit \( P(B)=P\left(B \mid A_{1}\right) \cdot P\left(A_{1}\right)+P\left(B \mid A_{2}\right) \cdot P\left(A_{2}\right)+\ldots \)
und dem Multiplikationssatz für bedingte Wahrscheinlichkeiten
\( P\left(A_{1} \cap \ldots \cap A_{k}\right)=P\left(A_{1}\right) \cdot P\left(A_{2} \mid A_{1}\right) \cdot P\left(A_{3} \mid A_{1} \cap A_{2}\right) \cdot P\left(A_{4} \mid A_{1} \cap A_{2} \cap A_{3}\right) \cdot \ldots \)
Wie ich die totalen Wahrscheinlichkeiten berechne, ist mir soweit klar.
Meine Frage ist: Muss ich beim Satz von Bayes immer durch die totalen Wahrscheinlichkeit teilen?
Der Satz von Bayes lautet ja: ( P(B I A) * P(A) ) / P(B I A) * P(A) + P(B I A') * P(A')
' hinter den Buchstaben soll die Notation mit dem Strich über den Buchstaben ersetzen, weil ich nicht weiß wie man diese Buchstaben schreibt.
Gibt P(B I A) * P(A) + P(B I A') * P(A') also die totale Wahrscheinlichkeit an?
