Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass beim Abwasch etwas kaputtgeht in Prozent? Satz von Bayes

Question

Aufgabe:

Die drei Freund*innen Annette, Bernd und Claudia fahren für 10 Tage gemeinsam zum Camping. Der im Urlaub geltende Spülplan sieht wie folgt aus:

Annette spült 2 mal ab.
Bernd spült 7 mal ab.
Claudia spült 1 mal ab.
Die Wahrscheinlichkeit, dass dabei etwas zu Bruch geht ist bei allen Dreien unterschiedlich:

Wenn Annette spült, geht mit einer Wahrscheinlichkeit von 20% etwas kaputt.
Wenn Bernd spült, geht mit einer Wahrscheinlichkeit von 10% etwas kaputt.
Wenn Claudia spült, geht mit einer Wahrscheinlichkeit von 25% etwas kaputt.
Aufgabe:

Bitte beantworten Sie die folgenden Fragen unter Zuhilfenahme des Satzes der totalen Wahrscheinlichkeit und des Satzes von Bayes.

Geben Sie die Wahrscheinlichkeiten in Prozent mit einer Genauigkeit von 1 Nachkommastellen an.

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass beim Abwasch etwas kaputtgeht in Prozent?
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Annette spült, wenn etwas zu Bruch geht in Prozent?
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Claudia spült, wenn nichts zu Bruch geht in Prozent?

Problem/Ansatz:

Ich habe die Wahrscheinlichkeit unter Verwendung des Satzes der totalen Wahrscheinlichkeit und des Satzes von Bayes berechnet.

Berechnung der Wahrscheinlichkeit, dass beim Abwasch etwas kaputt geht:
P(Kaputt) = P(Annette) * P(Kaputt | Annette) + P(Bernd) * P(Kaputt | Bernd) + P(Claudia) * P(Kaputt | Claudia)
 = (2/10) * (0.20) + (7/10) * (0.10) + (1/10) * (0.25)
 ≈ 0.04 + 0.07 + 0.025
 ≈ 0.135 Die Wahrscheinlichkeit, dass beim Abwasch etwas kaputt geht, beträgt ungefähr 13,5%.

Berechnung der Wahrscheinlichkeit, dass Annette spült, wenn etwas zu Bruch geht:
P(Annette | Kaputt) = (P(Annette) * P(Kaputt | Annette)) / P(Kaputt)
 = (2/10 * 0.20) / 0.135
 ≈ 0.04 / 0.135
 ≈ 0.296 Die Wahrscheinlichkeit, dass Annette spült, wenn etwas zu Bruch geht, beträgt ungefähr 29,6%.

Berechnung der Wahrscheinlichkeit, dass Claudia spült, wenn nichts zu Bruch geht:
P(Claudia | Nicht Kaputt) = (P(Claudia) * P(Nicht Kaputt | Claudia)) / P(Nicht Kaputt)
 = (1/10 * (1 - 0.25)) / (1 - 0.135)
= (1/10 * 0.75) / 0.865

 ≈ 0.075 / 0.865
≈ 0.087

Die Wahrscheinlichkeit, dass Claudia spült, wenn nichts zu Bruch geht, beträgt ungefähr 8,7%.

Habe ich alles richtig berechnet?

Falls nein, was habe ich falsch gemacht?

Answer 1

Der Ansatz stimmt,

ich habe es nicht nachgerechnet.

Comments

Danke für deine Antwort. Ich bin mir immer noch unsicher. Könnte jemand das nachrechnen und mich auf eventuelle Fehler aufmerksam machen?

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Ich kann auch nur die Zahlen in den TR eingeben

Machs nochmal, wenn dasselbe rauskommt, wirds wohl stimmen.

Ich neige auch zu Vertippern. :)

Answer 2

Berechnung der Wahrscheinlichkeit, dass beim Abwasch etwas kaputt geht:

Du hast die Wahrscheinlichkeit berechnet, dass bei einem bestimmten Abwasch etwas zu Bruch geht und nicht generell, dass bei allen 10 Abwäschen etwas zu Bruch geht. Das ist ein Unterschied.

Die anderen beiden Fragen beziehen sich tatsächlich auf einen Abwasch und sind Richtig gerechnet.

a) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass beim Abwasch etwas kaputtgeht in Prozent?

1 - (1 - 0.2)^2·(1 - 0.1)^7·(1 - 0.25) = 0.7704

b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Annette spült, wenn etwas zu Bruch geht in Prozent?

2/10·0.2/(2/10·0.2 + 7/10·0.1 + 1/10·0.25) = 0.2963

c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Claudia spült, wenn nichts zu Bruch geht in Prozent?

1/10·(1 - 0.25)/(2/10·(1 - 0.2) + 7/10·(1 - 0.1) + 1/10·(1 - 0.25)) = 0.0867