bedingte Wahrscheinlichkeit - Satz von Bayes

Question

In zwei Urnen (A und B) befinden sich jeweils 10 Kugeln.
• In Urne A befinden sich 7 rote und 3 weiße Kugeln.
• In Urne B befinden sich 1 rote und 9 weiße Kugeln.
Zudem haben Sie einen fairen Würfel zur Hand.
Es wird zunächst zufällig eine Urne ausgewählt, indem Sie den Würfel werfen und
• die Urne A wählen, falls der Würfel eine Zahl kleiner oder gleich 4 zeigt,
• die Urne B wählen, falls der Würfel eine andere Zahl zeigt,
Dann wird eine Kugel aus der ausgewählten Urne gezogen.
Beantworten Sie folgende Fragen:
(a) Wenn Sie wissen, dass die Kugel aus Urne A stammt, mit welcher Wahrscheinlichkeit
ist die Kugel dann rot? (5 Punkte)
(b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die gezogenen Kugel rot, wenn Sie nicht wissen, aus
welcher Urne die Kugel stammt? (5 Punkte)
(c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit stammt die Kugel aus Urne B?
(d) Sie haben eine rote Kugel gezogen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit stammt diese Kugel
aus Urne B? (10 Punkte

Answer 1

In Urne A befinden sich 7 rote und 3 weiße Kugeln.
• In Urne B befinden sich 1 rote und 9 weiße Kugeln.
Zudem haben Sie einen fairen Würfel zur Hand.
Es wird zunächst zufällig eine Urne ausgewählt, indem Sie den Würfel werfen und
• die Urne A wählen, falls der Würfel eine Zahl kleiner oder gleich 4 zeigt,
• die Urne B wählen, falls der Würfel eine andere Zahl zeigt,
Dann wird eine Kugel aus der ausgewählten Urne gezogen.
Beantworten Sie folgende Fragen:
(a) Wenn Sie wissen, dass die Kugel aus Urne A stammt, mit welcher Wahrscheinlichkeit
ist die Kugel dann rot? (5 Punkte)

7 rote auf die Gesamtmenge 10
7/10

(b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die gezogenen Kugel rot, wenn Sie nicht wissen, aus
welcher Urne die Kugel stammt? (5 Punkte)

( 7 + 1 ) / 20 = 8 / 20

(c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit stammt die Kugel aus Urne B?
Die Würfelwahrscheinlichkeit
Eine Kugel stammt aus Urne A : 50 %
Eine Kugel stammt aus Urne B : 50 %

(d) Sie haben eine rote Kugel gezogen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit stammt diese Kugel
aus Urne B? (10 Punkte

Von den 8 roten Kugeln sind 7 aus A und
1 aus B
1 / 8

Na. Hoffentlich stimmt das alles.

Comments

Leider glaube ich das das komplet falsch ist. Was ist mit dem Satz von Bayes in d)?

Die Wahrscheinlichkeit in c ist auch nicht 50% zu 50%.

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Leider glaube ich das das komplet falsch ist.
Meinst du alles ?

Was ist mit dem Satz von Bayes in d)?
Satz von Bayes kenn ich leider nicht.
Nehmen wir einmal an alle Kugeln werden
in eine Urne gegeben und mit A oder B
je nach Urne vorher beschriftet.
Jetzt wird gezogen ( mit zurücklegen ) solange
bis eine rote Kugel gezogen ist.
Was für ein Buchstabe wird auf der
Kugel stehen ?
8 rote Kugeln insgesamt
Mit der Wahrscheinlichkeit 7/8 wird
A draufstehen mit der Wahrscheinlichkeit
1/8 B.

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@Georg: Beachte, dass aus Urne A gezogen wird, wenn der Würfel 1-4 anzeigt. Aus Urne B wird nur für die Augenzahl 5 und 6 gezogen ;).