Bestimmen Sie den Bildbereich B ⊆ ℝ derart, dass f surjektiv ist.

Question

Aufgabe - Funktionen und Umkehrfunktionen:

Wir betrachten die Funktion \( f:[-2,2] \rightarrow B \) mit

\( f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \sqrt{x^{4}} & \text { für }-2 \leq x \leq-1 \\ 1-\ln (2+x) & \text { für }-1<x \leq 2 \end{array}\right. \)

(a) Bestimmen Sie den Bildbereich \( B \subseteq \mathbb{R} \) derart, dass \( f \) surjektiv ist.

(b) Zeigen Sie, dass \( f \) injektiv ist und bestimmen Sie die Umkehrfunktion \( f^{-1}: B \rightarrow[-2,2] \).

(c) Skizzieren Sie außerdem die Funktion sorgfältig, sowie deren Umkehrfunktion.

Bemerkung: Sie dürfen für den Nachweis der Surjektivität verwenden, dass \( f([-2,2]) \) ein Intervall ist.

Answer 1

Die beiden Teilfunktionen  wurzel(x^4) = x^2  !!
sind über ihren jeweiligen Bereichen streng monoton fallend
(kannst du mit:   ableitung ist dort negativ    zeigen)

es ist f(-2) = 4 und  f(2) = 1 - ln(4)  ungefähr   -0,4
und bei -1 passen die Graphen zusammen, da
(-1) ^2 = 1  und    1 - ln ( 2 - 1)  = 1

also B = [ 1-ln(4)  ;   4 ]

also ist f durchgehend streng monoton fallend.

wegen der strengen Monotonie ist f auch injektiv.

umkehrung:         x =  y^2   führt zu   y =  wurzel(x)
für den Bereich von x aus [ 1 ; 4 ]

x =  1 - ln (  2 +  y )      im Bereich x aus [ 1 - ln(4) ; 1 ]
x-1   =  - ln (  2 +  y )
1  -   x =  ln ( 2+ y)
e^{1-x} = 2+y
 
Y =   -2 + e^{1-x}
Also umkehrfunktion

                        -2 + e^{1-x}    für   x  aus [ 1-ln(4) ; 1 ]
g(x)   =
                          wurzel(x)     für     x  aus  ] 1 :  4 ]