Ist g eine Gruppe und a Element g.

Question

Wenn g endlich ist, dann existiert ein n Element N mit :<a> = {a,a^2,...,a^n}

Ich komme nicht so recht weiter ..

Answer 1

<a> ist doch die von {a} erzeugte Untergruppe, also der Durchschnitt aller
Untergruppen, die a enthalten.
Wenn nun a in einer Untergruppe ist, dann ist wegen der Abgeschlossenheit der
Untergruppe auch a*a = a2 in der Untergruppe.
Da das für alle Untergruppen gilt, ist auch a^2 in allen Untergruppen also
auch in deren  Durchschnitt , also auch in <a>.
Das gleiche gilt für a^2*a = a^3 etc.
Also sind alle Potenzen von a in <a>.
Da aber g endlich ist, kommt bei der immer weiter betriebenen Bildung
der Potenzen von a irgendwann kein neues Element mehr vor
(sonst gäbe es ja unendlich viele verschiedene Potenzen von a (die müssen aber
alle in g sein) und damit auch unendlich viele Elemente in g.
also gibt es bei der fortgesetzten Bildung der Potenzen irgendwann ein a^n,
das bei den bisherigen Potenzen schon vorkam.
Desse Exponent ist das gesuchte n.

Comments

Ach ne, das gesuchte n ist eins weniger, wenn a^n schon wieder vorkommt

ist a^{n-1} das letzte Element, das bisher nicht vorkam,

das wird dann wohl auch immer das neutrale Element sein.