Divergenz, Konvergenz oder absolute Konvergenz beweisen

Question

Ich soll bei dieser Aufgabe die Divergenz, Konvergenz oder absolute Konvergenz beweisen:

\( \left(\sum \limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \cdot \frac{2 n^{2}+\sqrt{n}}{n^{\frac{5}{2}}}\right) \)

Ansatz:

Ich bin soweit, dass ich sagen kann, limes n->unendlich ist 0

Also ist schon mal ein Kriterium erfüllt. Der nächste Schritt ist doch, dass an>=an+1 ist oder?

Allerdings kann ich die Ungleichung nicht auflösen... Oder geht man dabei anders vor?

\( \lim n->\infty \frac{2 n^{2}+\sqrt{n}}{n^{\frac{5}{2}}}=\lim n->\infty \frac{\frac{2}{\sqrt{n}}+\frac{1}{n^{2}}}{1}=0 \)

\( a_{n} \geq a_{n+1} \)

Und jetzt die Ungleichung oder?

Answer 1

ja genau, sobald du die Monotonie nachgewiesen hast, ist die Reihe nach dem Leibniz-Kriterium konvergent.

Gruß

Comments

Ja nur leider schaff ich es nicht, die Ungleichung aufzulösen.. da bräuchte ich Hilfe ^^ die wird sehr kompliziert...oder muss ich die gar nicht auflösen? Darum gehts

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Du hast doch schon den Term umgeformt zu

$$ \frac{2}{\sqrt{n}} + \frac{1}{n^2} $$

wenn du n+1 anstatt n einsetzt sind doch beide Summanden jeweils kleiner als die Summanden vorher (weil die Nenner größer sind) also ist die Summe auch kleiner. Also keine komplizierte Ungleichung.

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Aso das reicht so schon? Dann war ich ja die ganze zeit schon fertig ^^ vielen dank.

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Im Grunde schon, so lange du das was im Text steht mathematisch korrekt notiert hast :)