Das Rechnen mit konvergenten Folgen

Question

Ich bin gerade am Lernen und möchte mich heute mit "Das Rechnen mit konvergenten Folgen" befassen, nun bin ich an dem Satz 22.5 (Heuser) hängen geblieben.

Strebt a_n → 0 und ist (b_n) beschränkt, so auch a_nb_n → 0.

Ist nämlich |b_n|<β für alle n und bestimmt man nach Wahl von ε<0 ein n₀, so dass |a_n|<ε bleibt für alle n>n₀, so ist für diese n stets |a_nb_n|=|a_n| |b_n|<εβ, womit wegen der Bemerkung 3 nach Satz 20,3 bereits alles bewiesen ist.

Was ist die Idee? Wie könnte man es beweisen?

Answer 1

Strebt a_n → 0 und ist (b_n) beschränkt, so auch a_nb_n → 0.

Ist nämlich |b_n|<β für alle n   DAS heißt ja beschränkt!

und bestimmt man nach Wahl von ε<0 ein n₀, so dass |a_n|<ε bleibt für alle n>n₀,

Definition von an hat Grenzwert 0

so ist für diese n stets |a_nb_n|=|a_n| |b_n|  <   ε β , womit wegen der Bemerkung 3 nach Satz 20,3 bereits alles bewiesen ist.

Diesen Teil hätte man auch so beweisen können:

Sei eps > 0 Dann ist auch  eps / beta  (es ist beta > 0, da alle |bn|<beta) > 0.
Für dieses eps/beta gibt es ein no, von dem an alle |an| < eps/ß
dann ist aber |a_nb_n|=|a_n| |b_n|  <   (ε/ β) * beta = eps
also alle  |anbn| < eps.