Bestimmen Sie weiter bei den konvergenten Folgen zu jedem \varepsilon 0 ein N_{\varepsilon} ∈ ℕ so, dass der Abstand …

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie die nachstehenden Folgen rationaler Zahlen auf Konvergenz und geben Sie gegebenenfalls ihren Grenzwert an. Bestimmen Sie weiter bei den konvergenten Folgen zu jedem \( \varepsilon>0 \) ein \( N_{\varepsilon} \in \mathbb{N} \) so, dass der Abstand der Folgeglieder zu dem entsprechendem Grenzwert ab dem Folgeglied \( N_{\varepsilon} \) nicht gröber als \( \varepsilon \) ist.
(i) \( a_{n}=\frac{3 n+7}{4 n-1} \),
(ii) \( b_{n}=\frac{1}{n}+(-1)^{n} \),
(iii) \( c_{n}=1-\frac{(-1)^{n} n}{n^{2}+1} \)

Problem/Ansatz:

Also ich habe schon die Grenzwerte bestimmt fur

i) 3/4

ii) fur n gerade = 1 und n ungerade = -1

iii) 0

Jetzt weiss ich aber nicht wie man das mit diesem \( \varepsilon>0 \) zeigt und nachrechnet. Kann wer bitte erklaren?

Answer 1

$$(i) \\ | \frac{3 n+7}{4 n-1} - \frac{3}{4} | < eps \\ n > \frac{31}{16eps} + \frac{1}{4} \\ (ii) \\ konvergiert \, nicht \\ (iii)\\ \text{ Grenzwert ist 1, nicht 0 }\\ | 1 - \frac{(-1)^n *n}{n^2+1} - 1| < eps \\ | - \frac{(-1)^n *n}{n^2+1} | < eps \\ | \frac{n}{n^2+1} | < \frac{1}{n} < eps \\ n > \frac{1}{eps} $$

Comments

Hey danke ich habe es verstanden aber warum konvengiert denn ii nicht kannst du es mir bittte erklaren?

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Die Folge wechselt ständig zwischen -1 und +1, das widerspricht dem Kriterium der Konvergenz.

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warum hast du bei iii) zwei mal 1 - (...) -1 < eps