Zeigen Sie: Es gibt eine reelle Zahl \theta mit 0 1 und ein n_{0} ∈ ℕ , so dass c_{n} ≤ \theta für alle n ≥ n_{0} .

Question

Aufgabe: Kann mir bitte jemand diese Aufgabe erklären?

Problem/Ansatz:

Text erkannt:

Sei \( \left(c_{n}\right) \) eine konvergente Folge reller Zahlen \( c_{n} \geq 0 \), so dass \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} c_{n}<1 \). Zeigen Sie: Es gibt eine reelle Zahl \( \theta \) mit \( 0<\theta<1 \) und ein \( n_{0} \in \mathbb{N} \), so dass \( c_{n} \leq \theta \) für alle \( n \geq n_{0} \).

Answer 1

D.h. Wenn eine Folge einen Grenzwert g<1 hat, dann gibt es ein θ

( z.B.  θ = (g+1)/2 ) so dass \( c_{n} \leq \theta \) für alle \( n \geq n_{0} \).

Denn für jedes ε>0 gibt es ja ein no mit |g-c_n| < ε für alle \( n \geq n_{0} \).