Weil $$ \frac{a_n}{b_n} \to 1 $$ gilt es gibt ein \( N \in \mathbb{N} \) mit $$ \left| \frac{a_n}{b_n} -1 \right| <\epsilon $$ für alle \( n > N \)
D.h.$$ \left| \left| \frac{a_n}{b_n} \right| - 1 \right| \le \left| \frac{a_n}{b_n} -1 \right| < \epsilon $$ und deswegen folgt
$$ -\epsilon < \frac{ a_n - b_n } { b_n } < \epsilon $$ wegen \( a_n , b_n \ge 0 \) und weiter
$$ b_n ( 1 - \epsilon) < a_n < b_n ( 1+ \epsilon) $$
Wähle \( \epsilon = \frac{1}{2} \) dann folgt die Behauptung.