0 Daumen
631 Aufrufe

Aufgabe:

Gelten an ≥ 0, bn > 0 für alle n ∈ natürliche Zahlen und an * bn -1 n → 1 für n → ∞, dann gibt es ein N ∈ natürliche Zahlen

so, dass 1/2 bn ≤ an ≤ 3/2 bn für alle n ≥ N.


Problem/Ansatz:

Ich komme auf keinen Ansatz, um diese Behauptung zu beweisen, benötige dringend Hilfe.

Vielen Dank im voraus !

Avatar von

Hallo

steht da wirklich an/bn*n?

lul

Komisch, dachte ich hätte alle indexe richtig gesetzt, da sollte an * (bn )^-1 → 1 oder welchen Teil meinst du?

Heisst das anbnn1 \frac{a_n}{b_n} n \to 1 ?

Ohh mein Fehler, Aufgabe lautet richtig an *(bn )- --> 1 das n war von mir falsch abgetippt

1 Antwort

0 Daumen
 
Beste Antwort

Weil anbn1 \frac{a_n}{b_n} \to 1 gilt es gibt ein NN N \in \mathbb{N} mit anbn1<ϵ \left| \frac{a_n}{b_n} -1 \right| <\epsilon für alle n>N n > N

D.h.anbn1anbn1<ϵ \left| \left| \frac{a_n}{b_n} \right| - 1 \right| \le \left| \frac{a_n}{b_n} -1 \right| < \epsilon und deswegen folgt

ϵ<anbnbn<ϵ -\epsilon < \frac{ a_n - b_n } { b_n } < \epsilon wegen an,bn0 a_n , b_n \ge 0   und weiter

bn(1ϵ)<an<bn(1+ϵ) b_n ( 1 - \epsilon) < a_n < b_n ( 1+ \epsilon)

Wähle ϵ=12 \epsilon = \frac{1}{2} dann folgt die Behauptung.

Avatar von 39 k

Vielen Danke für deine Hilfe, ich werde deinen Schritten folgen und versuchen zu verstehen. Dir noch einen schönen Abend.

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage