Es gibt eine natürliche Zahl N so, dass 1/2 bn ≤ an ≤ 3/2 bn für alle n ≥ N gilt.

Question

Aufgabe:

Gelten a_n ≥ 0, b_n > 0 für alle n ∈ natürliche Zahlen und a_n * b_n ^-1 n → 1 für n → ∞, dann gibt es ein N ∈ natürliche Zahlen

so, dass 1/2 b_n ≤ a_n ≤ 3/2 b_n für alle n ≥ N.

Problem/Ansatz:

Ich komme auf keinen Ansatz, um diese Behauptung zu beweisen, benötige dringend Hilfe.

Vielen Dank im voraus !

Comments

Hallo

steht da wirklich an/bn*n?

lul

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Komisch, dachte ich hätte alle indexe richtig gesetzt, da sollte a_n * (b_n )^-1 → 1 oder welchen Teil meinst du?

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Heisst das $$ \frac{a_n}{b_n} n \to 1 $$ ?

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Ohh mein Fehler, Aufgabe lautet richtig a_n *(b_n )^-1  --> 1 das n war von mir falsch abgetippt

Answer 1

Weil $$ \frac{a_n}{b_n} \to 1 $$ gilt es gibt ein \( N \in \mathbb{N} \) mit $$ \left| \frac{a_n}{b_n} -1 \right| <\epsilon $$ für alle \( n > N \)

D.h.$$ \left| \left| \frac{a_n}{b_n} \right| - 1 \right| \le \left| \frac{a_n}{b_n} -1 \right| < \epsilon $$ und deswegen folgt

$$ -\epsilon < \frac{ a_n - b_n } { b_n } < \epsilon $$ wegen \( a_n , b_n \ge 0 \)  und weiter

$$ b_n ( 1 - \epsilon) < a_n < b_n ( 1+ \epsilon) $$

Wähle \( \epsilon = \frac{1}{2} \) dann folgt die Behauptung.

Comments

Vielen Danke für deine Hilfe, ich werde deinen Schritten folgen und versuchen zu verstehen. Dir noch einen schönen Abend.