Aloha :)
Der "Trick" ist, den Betrag nach oben durch einen einfacheren Term abzuschätzen:$$\left|\frac{3n+2}{\green{5n+7}}-\frac{3}{\red5}\right|=\left|\frac{\red5\cdot(3n+2)-3\cdot\green{(5n+7)}}{\red5\cdot\green{(5n+7)}}\right|=\left|\frac{(15n+10)-(15n+21)}{5(5n+7)}\right|$$$$\phantom{\left|\frac{3n+2}{\green{5n+7}}-\frac{3}{\red5}\right|}=\left|\frac{-11}{5(5n+7)}\right|=\frac{11}{5(5n+7)}<\frac{11}{25n}<\frac{11}{24n}<\frac{12}{24n}<\frac{1}{2n}\stackrel!<\varepsilon$$Bei den ersten beiden Kleiner-Abschätzungen wurde der Nenner verkleinert, wodurch der Bruch größer wird.
Für beliebig gewähltes \(\varepsilon>0\) kannst du nun die Forderung \((\frac{1}{2n}\stackrel!<\varepsilon)\) nach \(n\) umstellen und aufrunden, um ein \(\left(N(\varepsilon)=\left\lceil\frac{1}{2\varepsilon}\right\rceil\right)\) angeben zu können, ab dem garantiert gilt:$$\left|\frac{3n+2}{{5n+7}}-\frac{3}{5}\right|<\frac{1}{2n}<\varepsilon\quad\text{für}\quad n\ge N(\varepsilon)=\left\lceil\frac{1}{2\varepsilon}\right\rceil$$