Finden Sie ein N=N(\varepsilon) ∈ ℕ , so dass für alle n ≥ N gilt:

Question

Aufgabe 1
Sei \( \varepsilon>0 \). Finden Sie ein \( N=N(\varepsilon) \in \mathbb{N} \), so dass für alle \( n \geq N \) gilt:
\( \left|\frac{3 n+2}{5 n+7}-\frac{3}{5}\right|<\varepsilon . \)
Aufgabe 2
Seien \( \left(a_{n}\right)_{n} \) und \( \left(b_{n}\right)_{n} \) zwei konvergente Folgen reeller Zahlen mit
\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n}=a \quad \text { und } \quad \lim \limits_{n \rightarrow \infty} b_{n}=b . \)

Answer 1

Aloha :)

Der "Trick" ist, den Betrag nach oben durch einen einfacheren Term abzuschätzen:$$\left|\frac{3n+2}{\green{5n+7}}-\frac{3}{\red5}\right|=\left|\frac{\red5\cdot(3n+2)-3\cdot\green{(5n+7)}}{\red5\cdot\green{(5n+7)}}\right|=\left|\frac{(15n+10)-(15n+21)}{5(5n+7)}\right|$$$$\phantom{\left|\frac{3n+2}{\green{5n+7}}-\frac{3}{\red5}\right|}=\left|\frac{-11}{5(5n+7)}\right|=\frac{11}{5(5n+7)}<\frac{11}{25n}<\frac{11}{24n}<\frac{12}{24n}<\frac{1}{2n}\stackrel!<\varepsilon$$Bei den ersten beiden Kleiner-Abschätzungen wurde der Nenner verkleinert, wodurch der Bruch größer wird.

Für beliebig gewähltes \(\varepsilon>0\) kannst du nun die Forderung \((\frac{1}{2n}\stackrel!<\varepsilon)\) nach \(n\) umstellen und aufrunden, um ein \(\left(N(\varepsilon)=\left\lceil\frac{1}{2\varepsilon}\right\rceil\right)\) angeben zu können, ab dem garantiert gilt:$$\left|\frac{3n+2}{{5n+7}}-\frac{3}{5}\right|<\frac{1}{2n}<\varepsilon\quad\text{für}\quad n\ge N(\varepsilon)=\left\lceil\frac{1}{2\varepsilon}\right\rceil$$

Comments

Du hast da glaube ich einen kleinen Fehler eingebaut, anstatt der -6 müsste dort eine -11 stehen. Oder? Demzufolge müsste das Folgende auch angepasst werden.

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Ja stimmt, habe es korrigiert.

Danke für den Hinweis ;)

Answer 2

Hallo

a) Bruch auf den Hauptnenner bringen  dann Betrag nehme, Bruch verkleinern indem man im Nenner die Zahl durch n ersetzt  für n> Zahl dann n(ε) aus der Ungleichung ausrechnen, N die nächst größere ganze Zahl

lul