Aloha :)
Es ist \((\;\pm a\le|a|\;)\) und \((\;\pm b\le|b|\;)\), daher gilt:$$a+b\le|a|+|b|\quad\text{und}\quad-(a+b)\le|a|+|b|$$das heißt zusammengefasst:$$|a+b|\le |a|+|b|\quad\text{(Dreiecksungleichung)}$$
zu 1) Damit gilt nun aber auch:$$|a|=|a-b+b|\le|a-b|+|b|\implies\pink{|a|-|b|\le|a-b|}$$
zu 2) Weiter folgt aus der Dreiecksungleichung:$$|b|=|b-a+a|\le|b-a|+|a|\implies|b|-|a|\le|b-a|\implies-(|a|-|b|)\le|a-b|$$Zusammen mit (1) heißt das:$$\pink{\big|\,|a|-|b|\,\big|\le|a-b|}$$
zu 3) Wir definieren uns zwei Hilfsvariablen:$$u\coloneqq a+b\quad;\quad v\coloneqq a-b\quad\implies\quad u+v=2a\quad;\quad u-v=2b$$wenden die Dreiecksungleichung an:$$|u+v|\le|u|+|v|\implies|2a|\le|a+b|+|a-b|$$$$|u-v|\le|u|+|-v|=|u|+|v|\implies|2b|\le|a+b|+|a-b|$$und addieren beide Terme:$$|2a|+|2b|\le2|a+b|+2|a-b|\stackrel{(\div2)}{\implies}\pink{|a|+|b|\le|a+b|+|a-b|}$$
