Wir definieren die Funktion f: ℝ→ℝ durch f(x):= e^{-1/x} für x>0 und f(x):=0 für x≤0.

Question

Wir definieren die Funktion f : ℝ → ℝ durch

$$f\left( x \right) :=\left\{ exp \right (-\frac { 1 }{ x } )\quad für\quad x>0,\\ \qquad \qquad \qquad \qquad 0\quad \quad für\quad x<=0.$$

(a) Beweisen Sie, dass f(x)<1 für alle x ∈ ℝ ist.

(b) Zeichnen Sie den Graphen der Funktion f.

(c) Beweisen Sie, dass f monoton wachsend ist.

(d) Beweisen Sie, dass f stetig ist.

Wir dürfen dabei den Hinweis verwenden, dass exp:ℝ→ℝ streng monoton wachsend und stetig ist und dass exp(x)>0 für alle x ∈ ℝ gilt.

:)

Answer 1

Hi,
zu (a)
$$ -\frac{1}{x} $$ ist monoton wachsend gegen \( 0 \). Damit ist \( f(x) \le 1 \)

Zu (c)
Da \( -\frac{1}{x}  \) monoton wachsend ist und \( e^x \) monoton wachsend ist, ist auch \( e^{-\frac{1}{x}} \) auch monoton wachsend.

ZU (d)
Der einzig kritische Punkt ist \( x=0 \). Ansonsten ist es eine Zusammensetzung von stetigen Funktionen die wieder stetig ist. Der linksseitige Grenzwert ist \( 0 \) und der rechtsseitige ebenfalls, also ist die Funktion stetig.

Comments

Hi:) Danke für die schnelle Antwort. Aber ich blicke momentan bei Analysis nicht durch. Könntest du mir daher bitte auch erklären, wie ich es beweisen kann, dass -1/x monoton wachsend ist? Oder ist das schon gegeben?

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Hi,

für \( 0 < x < y \) folgt \( 0 < \frac{1}{y} < \frac{1}{x} \) und deshalb \( -\frac{1}{x} < -\frac{1}{y} \), damit ist \( -\frac{1}{x} \) monoton wachsend.

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Danke. (a) ist und (c) sind mir jetzt klar.

Aber d) ist mir noch nicht klar geworden. Wie kann ich das den richtig beweisen? So mit Sei .... dann.... und daraus folgt die funktion f ist stetig.

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Du brauchst nicht das \( \epsilon \) - \( \delta \) Kriterium anwenden. Der Nachweis das links- und rechtsseitiger Grenzwert identisch sind ist hinreichend für den Beweis der Stetigkeit.

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Wie kommt man dazu den Graphen bei b zu zeichnen? Mir würde ein Ansatz reichen...

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https://www.mathelounge.de/177431/zeichnen-sie-den-graphen-der-funktion-f

schau mal hier rein. habe diese frage extra gestellt.

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hallo ullim , zu a) ich denke nicht dass man es so beweisen kann , denn du hast -1/x monoton wachsend geschrieben , sind aber bei exp(-1/x) also die Antwort für a) wäre denke ich falsch oder?

und hat jdn eine idee wie man die d) löst ? also die linke Seite ist schon gegeben für x<=0 ist 0 wie kann man die rechte Seite beweisen damit f stetig ist ?

Danke !

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Hi,

die Funktion \( -\frac{1}{x} \) ist monoton wachsend, siehe Bild und die e-Funktion ebenfalls. Also wird der größte Wert bei \( x= \infty \) angenommen. Die Funktion \( -\frac{1}{x} \) ist bei \( \infty \) aber 0 und \( e^0 = 1\), aslo ist der Beweis richtig.

Bzgl. d) siehe meine erste Antwort.

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ja du hast recht ! danke sehr , habe erst jetzt richtig verstanden :)

also bzgl d) weiss ich leider noch nicht wie ich das beweisen kann , was ich weiss dass 0 bei x<=0  und auch 0 bei x>0 aber x= 0 wie kann man das beweisen ?

Danke ullim

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Du musst den links- und rechseitigen Grenzwert berechnen. Wenn sie identisch sind, ist die Funktion der Stelle stetig.

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also lim x-> - unendlich ist ja 0 schon gegeben und lim x -> + unendlich  ergibt auch 0 aber warum hast du vorhin geschrieben , der einzig kritische punkt ist x = 0  ? oder sehe ich das alles falsch ? :(

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Ich hab das so verstanden:

Die beiden Teilfunktionen sind stetig. Bei x=0 berühren sie sich also musst du nur zeigen das der Übergang stetig ist um zu beweisen das die gesamte Funktion stetig ist. Es könnte ja sein das f(x)=0 für x<=0 und f(x)=1 für x>0, dann wäre f(x) nicht insgesamt stetig!

lim x-> 0- f(x) =0. lim x->0+ ist jedoch lim x->0+ exp(-1/x)=lim x->-inf exp(x).

Da exp(x)>0 und monoton wachsend ist lim x->-inf exp(x)=0...

Richtig so?

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ich weiss es leider auch nicht , wäre lieb wenn jdn eine idee hat und genau erklärt was zu tun ist .

vielen dank !

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Hi,

der linksseitige Grenzwert ist \( 0 \), weil die Funktion links von \( x=0 \) als \( 0 \) definiert ist.

Der rechtsseitige Grenzwert berechnet sich zu \( \lim_{x \to 0+} e^{-\frac{1}{x}}=\lim_{x \to -\infty+} e^x=0 \)
Damit sind die Grenzwerte gleich und die Funktion ist stetig in \( x=0 \)