Lineare Abbildungen von Vektorräumen

Question

Entscheiden sie bei den folgenden Abbildungen, ob es sich um lineare Abbildungen handelt:

f_{1 :}  ℝ → ℝ²,     a → (a  ,a + 1)      ( K = ℝ )

f_2:  ℚ² → ℚ²,   (x  ,  y) → ( y  , -x )             ( K = ℚ)

f₃:  ℂ → ℂ,    z → z¯ = Re(z) - i Im(z)     ( K = ℂ )

f₄:  ℂ → ℂ,    z → z¯ = Re(z) - i Im(z)     ( K = ℝ )

K = Definierung des Grundkörpers

Answer 1

f_{1 :}  ℝ → ℝ²,     a → (a  ,a + 1)      ( K = ℝ )

f(a+b) = (a+b, a+b+1 ) ist nicht gleich f(a)+f(b) = (a+b ; a+1 + b+1) also nicht linear

f_2:  ℚ² → ℚ²,   (x  ,  y) → ( y  , -x )             ( K = ℚ)    ist linear

f₃:  ℂ → ℂ,    z → z¯ = Re(z) - i Im(z)     ( K = ℂ )    ist nicht linear , weil f(z1*z2) nicht gleich z1 * f(z2)

f₄:  ℂ → ℂ,    z → z¯ = Re(z) - i Im(z)     ( K = ℝ )   ist linear