Lineare Abbildungen zwischen reellen Vektorräumen

Question

also die Frage lautet:

Welche der folgenden Abbildungen zwischen reellen Vektorräumen sind linear?

(i) f₁ : ℝ² →ℝ³, (x₁,x₂) ↦(x₁ + 3x₂,0,x₂ + 2)

(ii) f² : ℝ→ℝ², x ↦(2x,−x)

(iii) f³ : ℝ2 →ℝ², (x₁,x₂) ↦(x²₁,x₂)

Kann mir dazu bitte jemand einen Ansatz geben?

Answer 1

Hi Trunkz,

du kannst alle Funktionen natürlich mit der Definition einer linearen Funktion überprüfen.

(ii) ist linear. Du kannst zu der Abbildung eine Darstellungsmatrix angeben, und diese beschreibt immer eine lineare Abbildungen.

((i) und (iii) sind keine lineare Abbildungen, hier reicht ein Gegenbeispiel.

Gruß

Comments

Danke erstmal für die Antwort Yakyu. Im Weiteren steht noch die Frage, was passiert, wenn man bei f₃ den Körper ℝ durch den endlichen Körper F₂ = (0,1) ersetzt, d.h. ist die Abbildung φ : (F₂)² → (F₂)² , (x₁,x₂) → (x²₁,x₂) linear?

Muss ich auch hierbei vorgehen wie oben oder gibt es da etwas zu bedenken?

LG

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Im grunde entspricht die Abbildung auf \(\mathbb{F}_2\) der Identität. (Das kannst du ja einfach nachrechnen es gibt nur 4 Vektoren und 2 Skalare für die Multiplikation).

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Nur als Hinweis:Die (i) ist nicht linear.

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Oh Tatsache ich hab die +2 übersehen. Danke tatmas. Hab die Antwort entsprechend editiert.