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Zeigen Sie: Kommutiert eine Matrix A ∈ R n×n mit allen reellen n × n-Matrizen (also AB = BA für alle B ∈ R n×n ), so ist A ein skalares Vielfaches der Einheitsmatrix E_n , d.h. A = λE_n für ein λ ∈ R.

Wie lässt sich das ganze nur mit Variablen auf  nxn Matrizen lösen?

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Also die Aufgabenstellung lautet:

Zeigen Sie: Kummutiert eine Matrix A ∈ ℝn x n mit allen reellen n x n - Matirzen (also AB = BA für alle B ∈ ℝn x n), so ist A ein skalares Vielfaches der Einheitsmatrix En, d. h. A = λ * En für ein λ ∈ ℝ.

Hinweis: Betrachten Sie Matrizen Ei,j, die an der Stelle (i, j) den Eintrag 1, und sonst 0 haben.


Was ist mit "Stelle (i, j)" gemeint? Und wie müsste der Beweis aussehen?

Danke schon mal im Voraus für die Hilfe.

Was ist mit "Stelle (i, j)" gemeint?

Das ist Zeile i und Spalte j. Was hast Du gedacht?

Hallo Mathefreunde,

Brauche Hilfe bei der Aufgabe:


Sei K ein Körper und A € M(K) eine Matrix (M mit tiefgestellten nn, also Mnn), so dass AB = BA für alle B € M(K) gilt.

Zu beweisen ist, dass A = a I (I mit tiefgestellten n) für ein a € K ist.


Wie soll ich da angehen?

Wenn A die Matrix ist und I die Inverse... Was ist dann mit a?

Was ist der Zusammenhang zu B?

Bitte um Hilfe

Ist denn I mit tiefgestellten n die Inverse oder die Einheitsmatrix?

Es ist gemeint dass A unter diesen Umständen nur eine Diagonalmatrix sein kann. Die Frage gab es schon mehrmals.

1 Antwort

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betrachte für \(1 \leq i,j \leq n \):

\(E_{ij} \) als die nxn-Matrix die den Eintrag \(a_{ij} = 1 \) besitzt und sonst nur aus \(0\)en besteht.

Dann gilt ja \(AE_{ij} = E_{ij}A \).

Schau dir an was das für die Einträge von \(A\) bedeutet.

Gruß

Avatar von 23 k

aber wenn ich doch AE=EA betrachte, dann habe ich doch vorausgesetzt, dass B=E, aber das ist ja nicht  der Fall. Wie kann ich, also beweisen, dass B=E ist, aber keine andere Marix?
Und was für einen Vorteil hat es, das Ganze mit 1i,jn zu betrachten?

Nein da steht nicht, dass B = E.

Du sollst auch gar nicht beweisen, dass B = E ist. Es geht hier um die Matrix A. Die Matrix B kann nach Voraussetzung jede beliebige nxn-Matrix sein. Deswegen meine obige Wahl mit der man (wie es in der Antwort ja auch angedeutet ist) Aussage über die Einträge A treffen kann, nämlich dass alle Elemente auf der Diagonale gleich sein müssen und außerhalb der Diagonale alle Einträge 0 sind.

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