Bestimmen alle Matrizen A = [a, b; c, d] für die gilt A * [1, 0; 1, 1] = [1, 0; 1, 1] * A

Question

Aufgabe 4 (Matrizen und Kommutativität).

(a) Bestimmen Sie alle Matrizen der Form

$$ A=\left(\begin{array}{ll} {a} & {b} \\ {c} & {d} \end{array}\right), \quad a, b, c, d \in \mathbb{R} $$

für die gilt:

$$ A\left(\begin{array}{ll} {1} & {0} \\ {1} & {1} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll} {1} & {0} \\ {1} & {1} \end{array}\right) A $$

(b) Man sagt, eine \( n \times n \) Matrix \( M \) kommutiert mit einer \( n \times n \) Matrix \( N, \) wenn \( M N=N M . \) Bestimmen Sie alle reellen \( 2 \times 2 \) Matrizen, die mit jeder reellen \( 2 \times 2 \) Matrix kommutieren.

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Bestimmen Sie alle reellen 2 2 Matrizen, die mit jeder reellen 2 2 Matrix kommutieren.

Stichworte: matrix

Aufgabe (Matrizen und Kommutativität):

(a) Bestimmen Sie alle Matrizen der Form

\( A=\left(\begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array}\right), \quad a, b, c, d \in \mathbb{R} \)

für die gilt:

\( A\left(\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{array}\right) A \)

(b) Man sagt, eine \( n \times n \) Matrix \( M \) kommutiert mit einer \( n \times n \) Matrix \( N \), wenn \( M N=N M \). Bestimmen Sie alle reellen \( 2 \times 2 \) Matrizen, die mit jeder reellen \( 2 \times 2 \) Matrix kommutieren.

Answer 1

[a, b; c, d]·[1, 0; 1, 1] = [1, 0; 1, 1]·[a, b; c, d]

b = 0 und a = d

[a, 0; c, a]


[a, b; c, d]·[e, f; g, h] = [e, f; g, h]·[a, b; c, d]
[a·e + b·g, a·f + b·h; c·e + d·g, c·f + d·h] = [a·e + c·f, b·e + d·f; a·g + c·h, b·g + d·h]

b = c = 0

a = d

[a, 0; 0, a]

Comments

Warum b=c= 0?

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Du brauchst ja nur die Gleichungen für

[a·e + b·g, a·f + b·h; c·e + d·g, c·f + d·h] = [a·e + c·f, b·e + d·f; a·g + c·h, b·g + d·h]

aufstellen

a·e + b·g = a·e + c·f --> b·g = c·f --> Was muss ich hier für b und c einsetzen, sodass diese Gleichung immer erfüllt ist?

a·f + b·h = b·e + d·f

c·e + d·g = a·g + c·h

c·f + d·h = b·g + d·h --> c·f = b·g --> Das liefert die gleiche Bedingung wie die erste Gleichung.

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wie komme ich auf b=c=0 ?

Ich verstehe das nicht

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b·g = c·f

Was musst du hier für b und c einsetzen, damit die Gleichung immer erfüllt ist ?

Probier mal 7 und 8

7·g = 8·f

Nö. Also das passt nicht. Probier also alle Zahlen durch. Was kann ich einsetzen.

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Wann ist eine Gleichung erfüllt. Muss ich das nicht nach b und c auflösen?

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Nach was willst du auflösen? Nach b oder nach c? Nach beiden Gleichzeitig geht doch schlecht.

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warum in b.g = c.f sind b und c gleich 0 und nicht g und f .