Stetigkeit mit Epsilon-Delta-Kriterium zeigen

Question

Ich habe folgende Funktion gegeben:

ƒ: ℝ\{0} →ℝ, x↦1/(x^2)

Nun ist die Stetigkeit mit Epsilon-Delta-Kriterium zu zeigen.

Mein Ansatz:

\( \begin{aligned} \left|f(x)-f\left({x_{0}}\right)\right| &=\left|\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{ {{x_{0}}}^{2}}\right|<\varepsilon \\ &<=>\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{{x_{0}}^{2}}<\varepsilon \\ &<=\frac{1}{x^{2}}<\varepsilon+\frac{1}{{x_{0}}^{2}} \\ &<=x^{2}<\left(\varepsilon+\frac{1}{{x_{0}}^{2}}\right) x^{2} * \\ &<=>x<x \sqrt{\varepsilon+\frac{1}{{x_{0}}^{2}}} \quad \mid \delta=x \sqrt{\varepsilon+\frac{1}{{x_{0}}^{2}}} \end{aligned} \)
*) habe an dieser Stelle auch überlegt zu ausmultiplizieren:
\( \begin{array}{l} <=x^{2}<\varepsilon^{*} x^{2}+\frac{1}{x_{0}^{2}} * x^{2} \\ <=>x<\sqrt{\varepsilon^{*} x^{2}+\frac{1}{x_{0}^{2}} * x^{2}} \quad \mid \delta=\sqrt{\varepsilon^{*} x^{2}+\frac{1}{x_{0}^{2}}} \end{array} \)

Würde das so gehen, ist der Beweis, damit zu Ende?

Comments

Der erste Schritt ist leider schon falsch, du kannst nicht einfach die Betragsstriche weglassen, denn die Differenz kann ja auch kleiner als 0 sein. Wenn du so Brüche hast, wo im Zähler nur konstanten sind und Stetigkeit zeigen sollst oder allgemein etwas mit \(\varepsilon\)-Beweisen machen sollst: Versuch erst mal irgendwie \(|x-x_0|\) in den Zähler zu kriegen, damit du dann umformen und abschätzen kannst, sodass du dann irgendetwas der Form \(c\cdot|x-x_0|\) bekommst, damit du dann nutzen kannst, dass \(|x-x_0| < \delta\).

Als Tipp zu deiner Aufgabe:

$$ \left| \frac{1}{x^2} - \frac{1}{x_0^{2}}\right|     \overset{\text{Auf gemeinsamen}}{\underset{\text{Nenner bringen}}{=}} \left| \frac{x_0^2}{x^2 x_0^2} - \frac{x^2}{x^2 x_0^{2}}\right| = \left| \frac{x^2 - x_0^2}{x^2 x_0^2} \right|  = \left| \frac{(x - x_0) (x + x_0)}{x^2 x_0^2} \right| $$

Jetzt kannst du erstmal die Rechenregeln für Beträge nutzen und kannst damit erst mal weitermachen. Weißt du wie der Rest geht? Du wirst \(\delta\) beschränken müssen. Wenn dir das unklar ist, frag noch mal nach.

Weitere Frage: Weißt du wie man Stetigkeit mittels Folgenkriterium zeigt?

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Danke für deine Antwort!

Ich hab auch schon versucht mit der dritten binomischen Formel zu rechnen. Bin auch ähnlich weit gekommen, aber ich sehe schon wo mein Fehler war. Dann hab ich ein Beispiel gefunden, dass so war wie mein Ansatz und das erschien mir einleuchtender. Danke dir für deine Hilfe!

Die Rechenregeln sagen mir jetzt nichts im Moment. Wäre super, wenn du mir auch hier noch mal helfen könntest.

Folgekriterium: Wir hatten zwar beide Optionen in der Vorlesung, aber wirklich hilfreich ist das jetzt nicht, was wir aufgeschrieben haben.

Answer 1

http://www.math.uni-sb.de/ag/wittstock/lehre/WS00/analysis1/Vorlesung/node8.html

Infos zu Beträgen

Ich führ dir mal den kompletten Rechenweg vor. Bei mir ist \(a=x_0\), ist etwas weniger Tipparbeit. Ferner sei \(a > 0\), das nutzen wir später. Man kann mit der Symmetrie begründen, dass es reicht, diesen Fall zu betrachten.

Sei \(|x-a| < \delta\), wobei \(\delta\) noch unbekannt ist. WIr wollen ein \(c(a)\) finden (also einen Term, der nur noch von \(a\) und nicht von \(x\) abhängt!!!), sodass \( | \frac{1}{x^2} - \frac{1}{a^2} | \leq c(a)|x-a| \underset{ |x-a| < \delta}{<}  \delta c(a) \) damit wir einfach \(\delta = \frac{\varepsilon}{c(a)} \) wählen können.

Also wir wissen ja schon 

$$| \frac{1}{x^2} - \frac{1}{a^2} | = \left|  \frac{(x-a) (x+a) }{x^2a^2} \right| \underset{vom~Betrag}{\overset{Rechenregeln}{=}}  |x-a| \left|  \frac{x+a}{x^2a^2} \right|  <  \delta \left| \frac{x+a}{x^2a^2} \right| $$

So das Problem ist jetzt, dass wir noch ein \(x\) in diesem Term haben. Das wollen wir loswerden. Wir wissen aber, dass \(|x-a| < \delta \), d.h. \(-\delta < x-a < \delta\), also können wir \(\delta\) beschränken, um so \(x\) einzuschränken, sodass wir den Term oben abschätzen können. Denn wir müssen nur irgendein \(\delta\) finden und deshalb können wir z.B. einfach \(\delta < 1\) annehmen. Wir nehmen jetzt aber was anderes, die "kanonische" Wahl ist: \(\delta < k\cdot a\) für irgendein \(k\in \mathbb{R^+}\).

Sei \(\delta < \frac{1}{2} a\). Hinweis: Da wir \(\delta\) beschränkt haben, erhalten wir am Ende so etwas wie \(\delta = min\left(...\right) \).

Es folgt also:

$$ -\frac{1}{2} a < x-a < \frac{1}{2} a~~~~  \Rightarrow~~~~ \frac{1}{2} a < x < \frac{3}{2} a $$

Wir wollen folgenden Term möglichst groß kriegen, damit wir eine obere Schranke haben zum Abschätzen: \(\left| \frac{x+a}{x^2a^2} \right|\).

Wie machen wir das? Naja, den Nenner so klein es geht und den Zähler möglichst groß.

1) Zähler: \(x+a \underset{x < \frac{3}{2}a}{<}  \frac{5}{2}a \).

2) Nenner: Wegen \( \frac{1}{2}a < x \) folgt durch Quadrieren (da \(a > 0\) ) \( \frac{1}{4}a^2 < x^2 \) und damit

$$ x^2a^2 > \frac{1}{4}a^4 $$.

Also ist \(x^2a^2 > \frac{1}{4}a^2 a^2 = \frac{1}{4}a^4 \).

Mit 1) und 2) folgt also:

$$ \left| \frac{x+a}{x^2a^2} \right| < \left|  \frac{ \frac{5}{2}a }{ \frac{1}{4}a^4 }\right| = \left| \frac{10}{a^3} \right| \underset{a>0}{=} \frac{10}{a^3}~.$$

Mit \(\delta = min(\frac{1}{2}a, \frac{a^3}{10} \varepsilon) \) folgt also für alle \(x\) mit \(|x-a| < \delta\):

$$ \left| \frac{1}{x^2} - \frac{1}{a^2} \right| = \left|  \frac{(x-a) (x+a) }{x^2a^2} \right| \underset{vom~Betrag}{\overset{Rechenregeln}{=}}  |x-a| \left|  \frac{x+a}{x^2a^2} \right|  <  \delta \left| \frac{x+a}{x^2a^2} \right| < \delta \frac{10}{a^3}  \leq \frac{a^3}{10} \varepsilon \frac{10}{a^3} = \varepsilon $$

Bei weiteren Rückfragen stehe ich natürlich zur Verfügung. Was habt ihr denn zum Folgenkriterium aufgeschrieben?

Comments

Hmmm.. also einige Sachen sind nachvollziehbar, andere leider nicht. Bei ein paar Sachen hab ich dann doch noch fragen:

1. Bei \( \left|\frac { 1 }{ x^2 } - \frac { 1 }{ a^2 }\right| =\left|\frac { (x-a)(x+a) }{ x^2a^2 }\right| = |x-a| \left|\frac { x+a }{ x^2a^2 }\right| < \delta \left|\frac { x+a }{ x^2a^2 }\right| \)

\(\left|\frac { (x-a)(x+a) }{ x^2a^2 }\right| =   |x-a| \left|\frac { x+a }{ x^2a^2 }\right| \) Da hast du den Bruch mit den Regeln aufgeteilt, richtig ?

Wo kommt der Bruch bei ....\( <\delta \left|\frac { x+a }{ x^2a^2 }\right| \) her ?

2. Der Teil mit "\(\delta\) beschränken". Du hast dann ein k ∈ ℝ⁺ und zwar k= \( \frac{1}{2} \). Das hast du einfach so gewählt oder wie ?

Dann steht -\( \delta < x-a < \delta \) und daraus wird dann, nachdem k bestimmt ist: \( -\frac{1}{2}a < x-a < \frac {1}{2}a \). Obwohl du sagst \( \delta < \frac{1}{2} \) ersetzt du \(\delta\) mit \(\frac{1}{2} \). Oder sehe ich da etwas nicht ?

Der Rest scheint denke ich klar zu sein, außer ein paar Umformungen, die ich noch mal selber nachrechnen muss, um sie zu verstehen.

Sorry falls es irgendwie kleinkariert ist, aber ich versuche nur alles bestmöglich nachvollziehen zu können.

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Zu 1.: \(|x-a| \left|  \frac{x+a}{x^2a^2} \right| < \delta \left| \frac{x+a}{x^2a^2} \right|\)

Da habe ich nur \(|x-a|\) durch \(\delta\) ersetzt, da \(|x-a| < \delta \). Ist analog zu folgendem: Wenn du z.B. \(x < 3\) hast, dann ist ganz sicher auch \(3x < 3\cdot 3\). Den Bruch hab ich mit den Rechenregeln für Beträge aufgeteilt, denn es gilt \( \left| \frac{ab}{c} \right| = \frac{|ab|}{|c|} = \frac{|a||b|}{|c|} \).

2. Jap, hab einfach ein \(k\) gewählt. Musst allerdings aufpassen, wenn du z.B. \(k=1\) wählst, kannst du den Nenner nur durch 0 nach unten abschätzen (weil du dann 0 < x < 2a oder so was hast) und somit den Gesamtbruch hinterher nicht abschätzen, da du durch 0 teilen würdest. Man muss bei dem \(k\) also eventuell ein bisschen rumprobieren.

Außerdem hat sich da ein Fehler eingeschlichen: Es muss eigentlich \(\delta \leq \frac{1}{2}a\) heißen also ein kleiner-gleich. Und dann hab ich ja \(|x-a| < \delta \leq \frac{1}{2}a\) also ist eben insbesondere \(|x-a| < \frac{1}{2}a\), d.h. \(-\frac{1}{2}a < x-a < \frac{1}{2}a\).

"Sorry falls es irgendwie kleinkariert ist, aber ich versuche nur alles bestmöglich nachvollziehen zu können."

Genau so sollte es sein, kann dir nur wärmstens empfehlen, dass du immer dafür sorgst, dass du alles in der Vorlesung und Übung verstehst. Und damit meine ich wirklich alles.

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Zu Folgekriterium haben wir folgendes aufgeschrieben:

f: D → ℂ ist stetig, in x₀ ∈ D genau dann, wenn für jede Folge (x_n) in D mit x_n → x₀ (n→∞) gilt:

( f(x₀) ist konvergent und) lim_n→∞ f(x_n) = f (lim_n→∞ x_n ) = f(x₀)

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Sei \( (x_n)_{n\in \mathbb{N}} \) eine Folge, die gegen \(x_0\) konvergiert. Dann musst du zeigen:

$$ \lim_{n \rightarrow \infty}  \frac{1}{x_n^2} = \frac{1}{x_0^2}~.$$

Schau dir dazu mal die Rechenregeln, die ihr für die Grenzwerte von konvergenten Folgen sicher gemacht habt an (vgl. auch https://de.wikipedia.org/wiki/Grenzwert_%28Folge%29#Rechenregeln )