Stetigkeit von f(x)= 1/(1+x^2) mittels Epsilon Delta Kriterium zeigen.

Question

Guten Tag

ich soll:
Zeigen dass die reelle Funktion R->R mit f(x) = 1/(1+x²) stetig ist. Und das mittels einer ε-δ-Abschätzung.

 

nun gilt ja dass für jedes ε >0 ein δ>0 existieren muss, so dass:

|f(x) - f(x₀)|<ε    für alle x € R. mit   |x-x₀|<δ

 

=>

| 1/(1+x²) - 1/(1+x₀²) |

= | ( (1+x₀)-(1+x)) / (1+x₀)(1+x) |

= |x₀-x| / |(1+x₀)(1+x)|

wegen der definition von δ gilt

≤  δ/ |(1+x₀)(1+x)|

3-Ecks-Ungleichung

≤ δ/ (|(1+x₀)| * |(1+x)|)

≤ δ / x*x₀

 

Wie werde ich das x los, um eine geeignete Aussage zu bekommen?

Answer 1

ich glaube du hast einen Fehler in deiner Abschrift, da das Quadrat auf einmal verschwindet von der einen Zeile zur anderen.

Man kann rechnen:

und sieht, dass das \delta als (x-x_0) existiert. Der Anteil unter dem Bruchstrich wird ja nie Null und somit wird der Ausdruck auch für kein x singulär.

MfG

Mister

Comments

Danke schon einmal.

Ai dass das mit dem x² abhanden gekommen ist, ist natürlich unpraktisch ^^.

aber wie bekomme ich jetzt ein δ =    heraus,
um zu zeigen, dass man zu jedem ε>0 ein δ>0 findet

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naja, sei \epsilon vorgegeben, betrachte es also in der obigen Rechnung als vorgegeben. Dann ist ein \delta = x-x_0 gesucht, sodass die Ungleichung in der ersten Zeile erfüllt ist. Durch das Umstellen habe ich nun gezeigt, dass dieses \delta existiert: Es muss nur beliebig klein gewählt werden und ab einem Wert ist die Ungleichung wieder erfüllt. Das heißt, dass wir für beliebig kleines \epsilon auch immer ein \delta finden, sodass die Ungleichung erfüllt ist und die Stetigkeit, die du dir vielleicht schon vorstellen konntest, ist nun auch formal gezeigt.

MfG

Mister.

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Also ich meine es jetzt verstanden zu haben,

aber beeinflusst die Wahl von delta nicht auch direkt |x+x₀|?

Wenn ich nun Delta gegen 0 gehen lasse dann geht x ->x₀

Und Vereinfacht ist das dann 0 * 2x₀ / (1+x₀²)² <  0 * 2x₀ / 1 = 0

Also kann man delta beliebig klein wählen.

Oder ist dieser Gedankengang falsch?

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nein, der Gedankengang ist gut und liefert den Grund, warum du x+x_0 ignorieren kannst: Es geht gegen einen konstanten und vor allem endlichen Wert (2x_0). Gefährlicher ist eigentlich meistens der Zähler. Bei diesem muss man dann sicher gehen, dass er "langsamer" gegen 0 geht als der Nenner oder wie in diesem vorliegenden Fall am besten gar nicht gegen Null geht.

MfG

Mister

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Super dann habe ich es verstanden.